Diskrete Fourier-Transformation

In der Physik und in technischen Anwendungen ist oft das Frequenzspektrum von zeitabhängigen Vorgängen von Interesse. Beispielsweise kann man die Magnetresonanz von Atomkernen (findet u.a. in der Medizin bei der MRT Anwendung) unter Einwirkung eines magnetischen Wechselfeldes untersuchen. Man kann die Probe aber auch durch einen einmaligen Magnetimpuls anregen und dann mittels Induktion ihr weiteres Verhalten untersuchen. Im ersten Fall erhält man ein Frequenzspektrum, im zweiten einen zeitlichen Verlauf. Beide Ergebnisse sind gleichwertig und können mithilfe der diskreten Fouriertransformation (DFT) ineinander überführt werden. Zudem kann die DFT genutzt werden, ein zeitabhängiges Signal in sein Spektrum zu transformieren, dieses nach geeigneten Wünschen zu verändern und anschließend zurück zu transformieren. Für solch ein Verfahren habe ich mit dem Applet einmal ein einfaches Beispiel erstellt. Hier können Sie verschiedene Signale, darunter vier vorgegebene, analysieren, filtern und das rücktransformierte Signal ansehen. Auch eine Tonausgabe habe ich erstellt. Der Filter sorgt dafür, dass einige Frequenzen verstärkt, andere abgeschwächt werden. Seine Lage kann durch Ziehen des Punktes auf der Zeitachse, seine Breite mit dem Schieberegler geändert werden. Untersuchen sie verschiedene Einstellungen und deren Auswirkung auf das Spektrum und das rücktransformierte Signal.

Ich habe zwar als Beispiele einige Funktionen gewählt, die wir im vorigen Abschnitt untersucht haben, mit dem Rauschen liegt aber eine zeitabhängige Größe vor, deren Ursprung wir nicht kennen (wollen). Anstelle des Rauschens können Sie sich auch einen Ausschnitt aus digitalisierten Musikdaten denken. Diese Daten müssen mit dem PCM-Verfahren (pulse code modulation) erstellt worden sein. Solche Daten liegen beispielsweise auf einer CD vor oder sie können aus FLAC-Dateien gewonnen werden. Die PCM macht nämlich genau das, was wir hier brauchen: Wenn schon der funktionale Zusammenhang nicht bekannt ist, dann halten wir wenigstens in gleichen Zeitabständen die "Funktionswerte" fest. Die Zeitpunkte heißen Stützstellen und der Funktionswert wird als Sample bezeichnet. Um nun das Spektrum zu bestimmen, das sich hinter der Zeitfolge verbirgt, sollten wir wieder Integrale bilden können. Da die Periode nicht bekannt ist, kommt aus dem letzten Abschnitt die Beziehung zur Anwendung. Aber wie soll man nun über eine unbekannte Funktion integrieren? Und woher bekommen wir die Funktionswerte von f(t), die dann auch nur für ein diskretes gelten, die anderen kennen wir ja nicht? Wie bei den Integralsätzen rettet uns die Dirac'sche Deltaverteilung wieder den Tag. Es gilt nämlich . Wir brauchen auch nicht über alle Zeiten zu integrieren, weil das Signal nur ein Intervall lang ist. Zudem werden wir nicht alle Kreisfrequenzen in das Spektrum aufnehmen, sondern nur Vielfache vom Kehrwert der Intervalllänge. Nennen wir sie . Mithilfe der Produkte erhalten wir die n Samples. Nun können wir uns an das Integral wagen. Die Werte der Fouriertransformation nennen wir wie im Fall periodischer Funktionen wieder .

.

Der l-te Funktionswert ist auch gleichzeitig das l-te Sample . So können wir die Transformationsvorschrift abschließend zu

formulieren. Die Rücktransformation erfolgt dann mithilfe der Gleichung

.

Im Applet habe ich im oberen Fenster für das Frequenzbild die berechneten Koeffizienten durch rote Vollkreise dargestellt. Der Graph der Ausgangsfunktion befindet sich im unteren Fenster für das Zeitbild. Damit könnten wir uns zufrieden geben. Ich wollte aber etwas zur Signalverarbeitung sagen. Der analoge Synthesizer ist aus der Musik als eine bedeutende Anwendung bekannt. Solche Instrumente erzeugen auf verschiedene Weise periodische Signale oder auch Rauschen. Diese Signale werden durch verschiedene Filter und Verstärker und durch Kombination so verändert, dass das Ergebnis den Wünschen des Komponisten entspricht. Bei den Filtern handelt es sich um Schaltungen, wie wir sie im Rahmen der Behandlung komplexer Zahlen schon betrachtet haben. Auch bei der analogen Signalverarbeitung muss man sich daher um das Frequenzbild kümmern. Um solch eine Schaltung rechnerisch zu simulieren, Kommt man jedoch um die Fourieranalyse nicht herum.



In nebenstehender Schaltskizze habe ich einen möglichen einfachen Frequenzfilter dargestellt. Die Filterwirkung äußert sich im frequenzabhängigen Verhältnis . Da die Stromstärke überall gleich ist, brauchen wir nur das Verhältnis der komplexen Widerstände zu bilden. Das Ergebnis ist . Im Applet habe ich den ohmschen Widerstand dafür vorgesehen, die Bandbreite des Filters einzustellen. Die Induktivität ist fest und die Kapazität ergibt sich wie folgt aus der Wahl der Filterfrequenz: Der maximale Betrag des Verhältnisses findet man für . Damit ändert sich die Verhältnisgleichung bei zusätzlichem Einsetzen der Frequenz f zu . Die Filterbreite ergibt sich als Differenz aus den beiden Frequenzen, bei denen das Verhältnis das -fache des Maximums beträgt. Die Herleitung für diese Differenz führe ich hier nicht vor, das Ergebnis für diese Schaltung ist .

Im Applet werden die Werte mit den Koeffizienten der Fouriertransformation multipliziert. Auf das Ergebnis wird die Rücktransformation angewendet und im Zeitbild zum Vergleich mit dem Original dargestellt.