Diagonalen im Quadrat
Ein Problem, was die Mitglieder der sogenannten pythagoräischen Schule um 540 v. Chr. beschäftigte, war das Problem der Diagonalen in einem Quadrat mit ganzzahliger Seitenlänge. Man betrachte ein Quadrat ABCD mit Seitenlänge 1:
Aufgabe: Zeichne die Diagonale x=BD in das obige Quadrat ein und miss die Länge mit Hilfe der Funktion "Abstand oder Länge." Gib das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen genau ein.
Doch damit gaben sich die Pythagoräer als mathematisch Interessierte nicht zufrieden. Schließlich gilt es eine Antwort auf die Frage zu finden, ob sich der Wert exakt bestimmen lässt, z.B. als Bruch. Man drehe das Quadrat auf die Spitze und zeichne ein neues Quadrat drumherum:
Wie groß ist der Flächeninhalt des großen grünen Quadrats, wenn das rote Quadrat den Flächeninhalt 1 besitzt?
Wie lässt sich das begründen?
Denke weiter: Es ist z.B. |BD| = |EF| = |FG| Wenn man die Diagonale des kleinen Quadrats BD mit x bezeichnet, dann muss für den Flächeninhalt x2 des großen grünen Quadrats EFGH gelten:
Damit hatten die Pythagoräer schon mal eine Gleichung gewonnen, mit deren Hilfe sie die Länge der Diagonale näherungsweise bestimmen konnten. Sie konnten durch etwas Rechenarbeit die Zahl x immer näher eingrenzen:
1 < x < 2 , denn 12 < x2=2 < 22
Im nächsten Schritt sucht man die weitere Nachkommastelle, sodass die Zahl x2=2 immer weiter eingegrenzt wird:
1,4 < x < 1,5 , denn 1,42 =1,96 < 2 < 1,52 =2,25
Man spricht von einer Intervallschachtelung.
Aufgabe: Setze die Intervallschachtelung um jeweils eine Nachkommastelle fort, bis du eine Genauigkeit von 8 Nachkommastellen erreicht hast.
Bearbeite dazu nur die Spalten A und E in der nachfolgenden Tabelle.
Gib den Näherungswert für an, der sich aus der linken Grenze in Zelle A10 ergibt: