Tiro parabólico (proyecto Gauss)
Hacia finales del siglo XV la sociedad tenía planteados importantes problemas prácticos: de navegación, tecnológicos, contables... Resolver esos problemas fue uno de los motores que facilitaron el rápido avance de las matemáticas renacentistas y posteriores.
Uno de estos problemas era el tiro parabólico. La trayectoria de un proyectil, lanzado con una cierta velocidad y un determinado ángulo de inclinación, se ve afectada por la acción de la gravedad. Encontrar las leyes matemáticas que rigen el movimiento de los proyectiles fue una tarea en la que se embarcaron grandes matemáticos, como Tartaglia y Galileo.
En esta aplicación vamos a manejar un pequeño cañón que lanza pelotas de tenis. Se trata de investigar cómo depende el resultado del lanzamiento del ángulo de inclinación del cañón, que también llamamos ángulo de tiro, y de la velocidad con la que se impulsa la pelota. Determinaremos la trayectoria de la pelota, la máxima altura alcanzada y el alcance, es decir, la distancia desde el punto de lanzamiento al punto en que la pelota toca el suelo.
PREGUNTAS
1. Selecciona la posición "Lanzar" y modifica a tu gusto la velocidad y el ángulo de inclinación, con los controles de la parte superior izquierda de la ventana. Observa los resultados. ¿Qué tipo de trayectoria sigue la pelota? Si se modifica la velocidad de lanzamiento o el ángulo de tiro, ¿cambia la trayectoria de la pelota? ¿Cómo influyen la velocidad y el ángulo de inclinación en la trayectoria de la pelota?
2. Activa las casillas "Alcance" y "Altura máxima". Fija la velocidad en 10 m/s (puedes mover el deslizador con más precisión si lo seleccionas con el ratón y utilizas las teclas + y - o las flechas del cursor). Vete variando ahora el ángulo de tiro (también puedes mover el punto verde con más precisión si lo seleccionas con el ratón y utilizas las teclas + y - o las flechas del cursor). ¿Con qué ángulo obtienes el máximo alcance? Para ese ángulo, ¿cuál es la máxima altura que alcanza la pelota?
3. Repite ahora el mismo proceso para otras velocidades: 7 m/s, 9 m/s, 12 m/s... ¿Obtienes el mismo resultado en todos los casos? Escribe tus conclusiones. ¿Cuál es el alcance de este cañón, es decir, la máxima distancia a la que podemos lanzar una pelota?
4. Haz clic en el botón Reiniciar. Activa ahora la casilla "Mostrar objetivo". Selecciona una velocidad de 10 m/s y la posición Lanzar. ¿Con qué ángulo de tiro puedes alcanzar el objetivo? (Cuando la pelota cae en la cesta aparecerá el rótulo "¡¡ Diana !!") ¿Puede haber más de una posibilidad? ¿Encuentras alguna relación entre esos ángulos y el ángulo con el que logras el máximo alcance (que has calculado en la pregunta 2)?
5. Cambia ahora la velocidad a 12 m/s y coloca la cesta a 10 m del cañón. Determina los dos ángulos de inclinación del cañón con los que la pelota cae dentro de la cesta. Conocido uno de ellos, ¿cómo podríamos calcular el otro? Compruébalo en algunos casos más.
6. Sitúa ahora la cesta a una distancia de 8.5 m del cañón. ¿Podemos alcanzar la cesta con una velocidad de 8 m/s? A esa distancia, ¿cuál es la mínima velocidad con la que la pelota cae en la cesta?
7. Haz clic en el botón Reiniciar. Activa la casilla "Mostrar gráfica". Activa también la casilla "Puntos notables". ¿Qué representan esos puntos en la parábola? ¿Qué significado práctico tienen las coordenadas de estos puntos en el contexto del problema?
8. ¿Cuál debe ser la velocidad, con un ángulo de tiro de 65º, para que la parábola corte al eje OX en el punto (6,0)? ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola? ¿Qué significado práctico tienen esos valores?
9. Obtén el ángulo de tiro y la velocidad con los cuales el vértice de la parábola es el punto (4, 3.21). ¿Cuál es el alcance del cañón con esas condiciones?
10. Activa la ecuación. Fija el ángulo de inclinación en 45º. Modifica ahora la velocidad. ¿Qué es lo que cambia en la ecuación? ¿Qué efecto tienen esos cambios en el arco visible de la parábola?
11. Haz clic en el botón Reiniciar. Selecciona un ángulo de inclinación de 45º y una velocidad de 8.86 m/s y activa las casillas "Mostrar gráfica" y "Puntos notables". Con el origen y los dos puntos notables señalados tienes los datos necesarios para hallar la ecuación de la parábola. Hállala y comprueba tu resultado activando la casilla "Mostrar ecuación".
12. Halla la ecuación de la parábola cuando el ángulo de tiro es de 45º y la velocidad 10.85 m/s. Comprueba tu resultado con la aplicación.
13. Encuentra el ángulo de inclinación y la velocidad con los que la parábola tiene por ecuación . Indica el vértice y los puntos de corte de la parábola con el eje OX.
MÁS INFORMACIÓN
La ecuación de una parábola es una expresión del tipo:
Los coeficientes a, b y c caracterizan a la parábola: de su valor depende su forma y la orientación de sus ramas. Conocidos tres puntos de la parábola podemos determinar los valores de a, b y c y obtener de ese modo su ecuación.
Si la parábola corta al eje OX en dos puntos y y son las abscisas de dichos puntos, la ecuación de la parábola también puede escribirse como:
De ese modo los puntos de corte y un tercer punto (como, por ejemplo, el vértice) son datos suficientes para determinar la ecuación de la parábola.