Derivata e differenziale - Significato geometrico
Derivata
Dati una funzione e un punto appartenente ad essa, se incrementiamo la posizione di di una quantità , otteniamo il punto corrispondente appartenente al grafico della funzione.
Per ogni incremento della variabile indipendente, l'incremento corrispondente della variabile dipendente è .
è il rapporto incrementale della funzione, ed è uguale alla tangente trigonometrica dell'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse (ovvero la pendenza della retta).
La derivata della funzione nel punto è definita come il limite per del rapporto incrementale.
Ma quando l'incremento tende a 0, la retta tende alla retta tangente al grafico della funzione in , e quindi la derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in tale punto.
Differenziale
Data una funzione , differenziabile in un punto , il differenziale della funzione relativo al punto è definito come , cioè è il prodotto della derivata della funzione nel punto per l'incremento infinitesimo della variabile indipendente.
Per questa definizione utilizziamo la notazione invece di per denotare un incremento infinitesimo.
Se vuoi scoprire di più sulla storia di questa notazione, puoi partire da qui (in Inglese, perchè la descrizione è molto più ricca che nella versione italiana).
Il differenziale è la misura dell'incremento dell'ordinata del punto corrispondente all'incremento infinitesimo dell'ascissa del punto, misurato sulla tangente al grafico della funzione.
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L'equazione generale della retta tangente al grafico di una funzione in un suo punto è . Sostituisci con e semplifica. Cosa ottieni al secondo membro dell'equazione? Cosa ottieni al primo membro? Descrivi il collegamento tra l'espressione algebrica al 2° membro e la rappresentazione geometrica della quantità al 1° membro.