Limita a spojitost

Limita funkce je nástroj k popisu chování nějaké funkce v okolí určitého bodu. Je-li funkce spojitá, je limita rovna přímo funkční hodnotě. Zajímavé to začíná být právě tam, kde funkce spojitá není, nebo v místech, ve kterých není vůbec definovaná. Pomocí limity můžeme elegantně popsat i kudy funkce míří do nekonečna, tj. zda má nějaké asymptoty. Příkazy pro určení limit Limitu v daném bodě můžete určit přímým nástrojem GeoGebry Limita(f,x0), ve WolframAlpha Limit[1/x, x -> 0].

Definice spojitosti a limity funkce

Říkáme, že funkce f je v bodě x0 spojitá, jestliže ke každému ε>0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x ∈ (a − δ, a + δ) ∩ Df platí nerovnost: f (x) − f (a) <ε. Říkáme, že funkce f má ve vlastním bodě x0 limitu A, jestliže pro každé okolí

čísla A existuje okolí

bodu x0 takové, že je-li

Skok f(x) v bodech x = –2 a x = 2

Posuvníkem x0 zkoumáte spojitost funkce v bodě x0. K libovolné šířce zeleného pásu eps musíte nalézt modrý pás delta, aby funkční hodnoty všech jeho bodů patřily i do pásu zeleného. Pokud se to nepovede, je funkce v bodě x0 nespojitá.

Řešený příklad

Určete limitu funkce

v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech ∞,– ∞.

Body x = 1 a x = – 1 nepatří do definičního oboru, funkce zde není spojitá. Bod x = 1 je tzv. odstranitelnou nespojitostí, protože ať se blížíme k bodu zleva nebo zprava, dostáváme stejnou limitu funkčních hodnot.

. V bodě x = –1 má hyperbola vertikální asymptotu, limita zleva je – ∞, blížíme-li se k x = –1 zprava, utíkají funkční hodnoty do ∞.