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Bezierkurve

Autor:Christoph Linder
Im nächsten Applet siehst du eine Bézierkurve. Verschiebe die Punkte, um die Kurve mehr oder weniger beliebig anzupassen. Die Konstruktion dieser Kurve wurde in den 60er Jahren von den Ingenieuren Pierre Bézier und Paul Faget de Casteljau für Renault bzw. für Citroen entwickelt. Im Folgenden werden wir herausfinden, wie eine solche Kurve konstruiert und vom Computer verarbeitet werden kann.

Schritt 1

Wir werden nun nach und nach die einzelnen Schritte der Konstruktion durchgehen.

Beschreibe die Lage der Punkte S1, S2 und S3 im nächsten Applet. Erzeuge dann den Ortsvektor von den drei Punkten nur unter Verwendung der Punkte , , und . Hinweise:

  • Vektor(A) erzeugt den Ortsvektor von A.
  • Vektor(A,B) erzeugt den Vektor von A nach B.
  • Vektor(A) + Vektor(A,B) erzeugt die Vektorkette der beiden obigen Vektoren
  • Um sich auf den Punkt S1 zu beziehen, schreibe S_1

Schritt 2

Es werden zwei weitere Punkte eingefügt.

Beschreibe wieder, wie die Punkte T1 und T2 konstruiert werden. Erzeuge dann den Ortsvektor von T1. unter der Verwendung der Punkte , und .

Schritt 3

Und ein letzter Punkt wird ergänzt.

Beschreibe die Lage des Punkts F. Beschreibe zudem den Einfluss des Parameters t auf F. Erzeuge wieder den Ortsvektor von F mit einer geeigneten Vektorkette. Tipp: Erzeuge die Vektorkette zuerst für den Wert t = 0.5 und passe sie anschließend so an, dass sie direkt von t abhängt.

Schritt 4 - Erzeugung der Bézierkurve:

Stellt man nun verschiedene Werte für den Parameter t ein, wandert der Punkt F zwischen A und B auf einer eindeutigen definierten Kurve. Übergibt man dem Computer den Ortsvektor von F in Abhängigkeit von t, kann dieser die entsprechende Kurve zeichnen. Für Schnelle. Gib den Ortsvektor von F nur in Abhängigkeit der Punkte A, B, R1, R2 und in Abhängigkeit von t an (schriftlich im Heft). Hinweis: Am Ergebnis solltest du erkennen, warum es sich hier um eine kubische Bézierkurve handelt).

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