geometrische Konstruktion
Konstruktion der ON-Basis
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene (Dezember 2021)
Es gibt 3 Möglichkeiten, 4 verschiedene Punkte in 2 Punkte-Paare zu zerlegen. Ein Punkte-Paar (z.B.: ) repräsentiert ein (elliptisches) Kreisbüschel, bestehend aus allen Kreisen durch die beiden Punkte. Die LIE-Klammern verwenden wir analog zu den LIE-Klammern der LIE-Algebra der Möbius-Gruppe: Stellt man die Gruppe der Möbiustransformationen als komplexe dar, so kann man die komplexen Vektoren der zugehörigen LIE-Algebra deuten als Kreisbüschel und den dazugehörigen loxodromischen Kurven. Die komplexe Möbius-LIE-Algebra ist die komplexifizierung des dreidimensionalen euklidischen Vektorraumes mit Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Wir untersuchen beispielsweise die beiden Kreisbüschel und . Fall die 4 Punkte nicht konzyklisch sind, d.h. falls sie nicht auf einem Kreis oder einer Geraden liegen, gibt es aus dem elliptischen Kreisbüschel je ein Kreis durch und durch . Dazu konstruiere man die Winkelhalbierenden-Kreise (rot) cw121, cw122. Auf dieselbe Weise konstruiere man Winkelhalbierenden-Kreise (grün) cw341, cw342 für das elliptische Kreisbüschel und die Kreise durch und . Eines der Kreis-Paare cw12i, cw34j liegen in einem hyperbolischen Kreisbüschel (sie schneiden sich nicht reell), das andere Kreis-Paar schneidet sich in den Grundpunkten des hyperbolischen Kreisbüschels: und es sind die Grundpunkte des Kreisbüschels . Die Punkte-Paare und liegen jeweils punkt-symmetrisch zu den Grund-Punkten . Eine Punktspiegelung ist eine gleichsinnige Möbiustransformation, sie entsteht als Produkt von 2 Kreisspiegelungen an 2 orthogonalen Kreisen aus dem elliptischen Kreisbüschel . Rechnerisch folgt dies daraus, dass die LIE-Produkte und orthogonal zu sind. Analog konstruiert für die anderen Punkte-Paare die LIE-Produkte und ihre Kreisbüschel:- Die LIE-Produkte , und sind paarweise orthogonal, ihre Grundpunkte liegen auf 4 paarweise orthogonalen Kreisen (einer davon imaginär) und die vorgegebenen Punkte-Paare liegen zu den zugeordneten Grundpunkten punkt-symmetrisch