Lezione 1: percorso storico-matematico per introdurre i complessi

Questo percorso , storico-matematico , porterà gli studenti a sentire la necessità di introdurre i numeri complessi, non solo ad accettarli come un’invenzione astratta. Il percorso è strutturato in tappe logiche che legheranno la soluzione delle equazioni di terzo grado alla nascita di i, unità immaginaria , e ad una trattazione sistematica dei numeri complessi.

Facciamo un passo indietro: le equazioni di 2° grado

Si pensa erroneamente che l'introduzione dei numeri complessi sia legata alle equazioni di 2° grado. Assegnata una equazione di 2° grado: in R, le sue soluzioni sono: La quantità sotto radice quadrata è il discriminante o DELTA. Perché si chiama discriminante?

Siamo in R: spiega cosa succede quando:

Quindi, quando , cosa possiamo dire delle soluzioni delle equazioni di 2° grado in R?

Equazioni di terzo grado: cenni storici.

La risposta dei matematici al caso del DELTA <0, nelle equazioni di secondo grado, fu semplicemente accettare che in taluni casi l'equazione di secondo grado non avesse soluzioni reali. Scoprirai in questo percorso che l'introduzione dei numeri complessi è legata alle equazioni di 3° grado e non a quelle di 2° . Viene detta equazione di terzo grado o cubica un'equazione che in forma polinomiale è tale che il grado massimo dell'incognita è il terzo. Pertanto, la sua forma canonica è:

in cui

è la variabile incognita e i coefficienti numerici sono indicati da

, reali. Essendo l'equazione di terzo grado, può avere al massimo 3 radici, ovvero 3 soluzioni. Per risolvere queste equazioni è necessario scomporre il polinomio in modo da ottenere delle equazioni di primo e secondo grado che possono essere risolte tramite procedimenti e formule note.

Casi di equazioni di terzo grado risovibili con metodi noti.

Quali equazioni di terzo grado sei in grado di risolvere? 1. : 2. e : 3. equazione completa e applicazione di Ruffini Scrivi le suluzioni delle seguentti tre equazioni di 3° grado, dopo averle svolte sul tuo quaderno: 1. 2. 3.

Equazioni di 3° grado complete e forma ridotta.

Purtroppo però non sempre è possibile ricondurre l’equazione di 3° grado ad uno dei casi visionati. Le equazioni di 3° grado che non rientrano nei casi elencati precedentemente, possono essere risolte o con metodi approssimativi o con una importante formula, detta formula di Cardano, alla determinazione della quale collaborarono matematici illustri, tra il 1500 e il 1600: Del Ferro, Tartaglia, Cardano e Ferrari Facciamo una importante premessa: Si dimostra che tutte le equazioni di terzo grado

possono essere scritte in una forma ridotta , o depressa:

Vediamo come arrivare alla forma ridotta delle equazioni di 3° grado , partendo da una equazione completa.

Riduzione di una equazione di terzo grado in una equazione di terzo grado depressa: metodo della Traslazione

Data la seguente equazione di terzo grado, , ricondurla alla forma . Procedimento: 1. esegui un cambio di variabile (una traslazione dell'incognita) ovvero poni: . Questa sostutzione corrisponde ad una traslazione dell funzione rappresentata dal polinomio di vettore 2. sostituisci nell'equazione di terzo grado completa la nuova variabile per renderti conto che i termini di secondo grado non saranno più presenti. Procedi facendo i calcoli sul quaderno e scrivi l'equazione ridotta risultante nello spazio risposta Dovrebbe risultare

Metodo alternativo per ricondurre una qualsiasi equazione di 3° grado nella forma "depressa". Completamento del cubo

Un altro modo per ridurre una equazione completa di terzo grado in forma depressa è tramite il metodo del completamento del cubo. Abbiamo incontrato in passato, in diversi contesti , il metodo del completamento del quadrato. Ricordi in quale contesto?

Metodo del completamento del cubo

Asseganta l'equazione di terzo grado completa:

, vogliamo operare per ricondurla alla forma ridotta

1° passo: dividi tutta l'equazione per

: otterrai

2° passo: completa il cubo , ovvero somma e sottrai due monomi così che inseieme ai primi due termini del polinomio costitutiscano il cubo di unn binomio. 3° passo: otterrai:

4° passo: Riporta l'equazione scrivendo i primi 4 monomi come cubo di un binomio, e raccogliendo i termini con l'incognita. 5° passo: fai sotituzioni e chiama p il coefficiente numerico del monomio con parte letterale di primo grado e q il termine noto. Riporta tutti i calcoli sul quaderno. Sarai arrivato alla forma ridotta:

Un po' di storia....

E' da questa equazione in forma ridotta che parte la storia delle soluzioni di equazioni di 3° grado, in particolare quelle che non possono essere risolte riconducendole ad equazioni di grado più basso con i metodi visti sopra. La soluzione delle equazioni di 3° grado è una delle vicende più affascinanti della storia della matematica rinascimentale italiana, e coinvolge figure come Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano e Rafael Bombelli. Scipione del Ferro, professore a Bologna. fu Il primo a trovare una soluzione. Riuscì a risolvere un caso particolare di equazione cubica,

. Dopo la morte di Del Ferro, il metodo arrivò (indirettamente) a Niccolò Tartaglia, che lo riscoprì e lo estese. Tartaglia era noto per partecipare a sfide pubbliche tra matematici, e grazie alla sua scoperta riuscì a vincere importanti competizioni. Gerolamo Cardano, medico e matematico, personaggio molto discutibile, convinse Tartaglia a rivelargli il metodo, promettendo di non pubblicarlo. Nel 1539 Niccolò Tartaglia, inviò in versi a Cardano la forma risolutiva delle equazioni cubiche prive del termine di secondo grado, chiedendo però di non divulgarla. Ecco come Tartaglia svelava la soluzione della equazione di terzo grado

al suo collega Cardano:

Cardano riusci a decodificare i versi e non mantenne la promessa fatta a Tartaglia; infatti, quando venne a sapere che Del Ferro aveva già scoperto la soluzione prima di Tartaglia, ritenne di poter pubblicare il risultato senza violare la promessa.

Nel 1545 pubblicò l’opera Ars Magna, in cui presentò:

la soluzione generale delle equazioni cubiche
la soluzione delle quartiche (grazie all'aiuto del suo allievo Ludovico Ferrari)

Questo causò una forte polemica con Tartaglia. Altro personaggio fondamentale nella vicenda fu Rafael Bombelli, che intervenne qualche decennio dopo, nel 1572, con il libro L'Algebra. Il suo contributo fu fondamentale perché:

chiarì i passaggi della formula di Cardano
affrontò il problema dei numeri “impossibili” (oggi i numeri complessi)

In particolare, studiò i casi in cui la formula della cubica porta a radici quadrate di numeri negativi (il cosiddetto caso irreducibile), dando senso operativo ai numeri complessi. Quindi la formula risolutiva delle quazioni di terzo grado, detta di Cardano, in realtà dovrebbe essere chiamata la formula di Del Ferro, Tartaglia e Cardano. Questa è la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado in forma ridotta

la quantità sotto radice quadrata è il discriminante, DELTA, delle equazioni di 3°grado:

anche in questo caso, come per le equazioni di 2° grado, il segno del DELTA , sarà discriminante.

Applicazione della formula di Cardano ad una equazione di 3° grado

Proviamo ad applicare la formula di Cardano ad una equazione di terzo grado ridotta: Scrivi la soluzione di Cardano, specificando il valore del DELTA:

Troviamo le altre radici

Nota una radice, possiamo scomporre il polinomio di 3° grado come prodotto di un polinomio di 1° grado e uno di 2° Puoi applicare la regola di Ruffini per determinare la scomposizione, avendo una radice. Dopo aver svolto i passaggi sul tuo quaderno , scrivi la scomposizione del polinomio dato e quindi le soluzioni dell'equazione di partenza. le soluzioni dell'equazione sono tutte reali?

Equazioni di grado che

La formula della cubica porta però a volte ad avere radici quadrate di numeri negativi (il cosiddetto caso irreducibile). Facciamo un esempio: Risolvila sul quaderno con la formula di Cardano, e commenta il risultato, specificando il valore del DELTA.

Le cose non sono però quelle che sembrano!!!!

Se guardi attentamente l'equazione , potrai renderti conto facilmente ammette una soluzione reale, semplice da trovare. Prova a sostitutire qualche numero intero, fino ad individuare una soluzione della equazione. Quale valore hai trovato? E' reale? Cosa invece avevi dedotto applicando la formula di Cardano? Commenta la situazione determinata.

Una evidente contraddizione. Come risolverla?

Tornando alla nostra storia, Gerolamo Cardano,risolvendo proprio questa equazione, si accorse di qualcosa di strano: anche quando la soluzione finale era reale, nell'applicazione della sua formula comparivano radici quadrate di numeri negativi. Questo era un grosso problema, perché i numeri negativi sotto radice non avevano ancora un significato chiaro:

√(−1) non era considerato un numero valido e non era accettato come un "vero numero",
quindi quando comparivano numeri negativi sotto radice sembrava che la formula “non funzionasse”.

Nasce la necessità di "allargare " l'insieme dei numeri!

Quella che a Cardano sembrava una contraddizione in realtà era un chiaro segnale che la matematica dell’epoca era troppo “stretta”. La svolta fu accettare i numeri complessi, ovvero introdurre un nuovo numero,

Rafael Bombelli fu fondamentale per superare la contraddizione, perché fu il primo a trattare seriamente quei “numeri strani” che comparivano nella formula di Cardano, cioè le radici di numeri negativi. Bombelli li presde sul serio, anche se “impossibili”! Mentre Gerolamo Cardano li considerava quasi un artificio sospetto, Bombelli fece una mossa geniale: decise di usarli comunque, come strumenti di calcolo, anche se non capiva ancora “cosa fossero” davvero. Introdusse regole di calcolo chiare. In pratica costruì le basi operative dei numeri complessi.

definì le operazioni tra i numeri "impossibili" con regole precise

Bombelli prese proprio quei casi in cui la formula di Cardano produceva radici quadrate di numeri negativi, la soluzione finale era reale. Dimostrò che: se accetti i numeri complessi nei passaggi e svogli i calcoli seguendo le loro regole, si ottiene il numero reale corretto. Il punto rivoluzionario fu proprio questo: anche se un oggetto matematico sembra “assurdo”, può essere necessario per far funzionare tutto il resto. Vedremo nella prossima attività quali calcoli furono necessari per passare dalla soluzione assurda data dalla formula di Cardano alla soluzione reale.