y= cosx approssimazione della funzione coseno con un polinomio intorno a zero

Approssimazione intorno a zero della funzione coseno

Vogliamo approssimare, in un intorno di x=0, la funzione y= cosx con un polinomio. Ripassiamo le proprietà della funzione y= cosx

La funzione ha come dominio tutti i reali, come codominio l'insieme
E' una funzione periodica di periodo
La funzione è una funzione pari

Per rispettare la simmetria della funzione, anche l’approssimazione deve essere fatta con un polinomio pari (cioè con solo potenze pari:

, ...) perchè avrebbe la stessa proprietà di simmetria. Un polinomio con termini dispari romperebbe questa simmetria, quindi le proprietà della funzione coseno.

Sikmmetria della funzione coseno

la funzione y=cosx è una funzione pari. Giustifica la risposta da un punto di vista analitico e grafico

Approssimiamo la funzione coseno con un polinomio di grado zero

approssimiamo la funzione coseno con un polinomio di grado zero, primo polinomio di grado pari. Un polinomio di grado 0 è semplicemente una costante:

Se usiamo il polinomio di grado 0 in x=0,

Quanto vale y=cosx in x=0? Scrivi in modo formale la risposta

Qual è il polinomio di grado zero, che approssima la funzione coseno in x=0?

Grafica la funzione y=cosx, e il polinomio di grado 0 che la approssima in x=0

Qualità dell'approssimazione

Ti sembra che il polinomio , rappresenti una buona approssimazione della funzione y= cosx intorno a x=0? Dove ti sembra comincino a separarsi? Per dare una risposta, aiutati completando la tabella presente nel foglio elettronico del file di geogebra che segue; per meglio valutare l'approssimazione , sono visualizzati i valori con 5 cifre decimali

Miglioriamo la qualità dell'approssimazione

Siccome la funzione y= cosx è pari, il polinomio che potrebbe migliorare l'approssimazione dovrebbe essere di 2° grado. Aggiungiamo al polinomio di grado 0 , un termine di secondo grado. Tenedo conto della concavità della funzione di y =cosx intorno a x=0, che segno dovrebbe avere il termine aggiuntivo di secondo grado? Inserisci il polinomio che ritieni più adatto. Inseriscilo nella forma

Per capire meglio il segno di b, rappresenta la funzione y=cosx su geogebra e inserisci il polinomio di secondo grado formato dal termine di grado zero e da uno slider come coefficiente del termine di secondo grado.

Determiniamo il valore di b, coefficiente del termine di secondo grado

Per determinare il coefficiente del polinomio di secondo grado, seguiremo un ragionamento molto semplice :

Prendiamo un valore abbastanza vicino allo zero, per esempio x=0,2
calcoliamo il coseno di 0,2 ,

calcoliamo il valore del Polinomio di secondo grado in x=0,2
ricaviamo b risolvendo la seguente equazione :

Calcola b seguendo le istruzioni precedenti

Перевірте свою відповідь

Polinomio approssimante la funzione y=cosx

A questo punto, ti suggerisco la formula del polinomio approssimante la funzione

in un intorno di

Aggiungiamo un altro termine al polinomio di secondo grado per migliorare l'approssimazione

il polinomio che potrebbe migliorare l'approssimazione deve essere di 4° grado. Aggiungiamo perciò al polinomio precedente di grado 2° , un termine di quarto grado. Chiamiamo il polinomio approssimante :