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y= cosx approssimazione della funzione coseno con un polinomio intorno a zero

ForfatterRoberta Ingitti, Franca Donato, Franca Donato

Approssimazione intorno a zero della funzione coseno.

Vogliamo approssimare, in un intorno di x=0,  la funzione y= cosx  con un polinomio. Ripassiamo le proprietà della funzione y= cosx
  • La funzione ha come dominio tutti i reali, come codominio l'insieme
  • E' una funzione periodica di periodo
  • La funzione è una funzione pari
Per rispettare la simmetria della funzione, anche l’approssimazione deve essere fatta con un polinomio pari (cioè con solo potenze pari: , , , , ...) perchè avrebbe la stessa proprietà di simmetria. Un polinomio con termini dispari romperebbe questa simmetria, quindi le proprietà della funzione coseno.  Disegna con geogebra la funzione coseno.

Grafico della funzione y=cos(x)

Simmetria della funzione coseno

la funzione è una funzione pari. Giustifica la risposta da un punto di vista analitico e grafico

Tjek dit svar

Quanto vale y=cosx in x=0? Scrivi in modo formale la risposta

Tjek dit svar

Determinazione del polinomio approssimante

  • Approssimiamo, in un intorno di , la funzione con un polinomio di grado zero (primo polinomio di grado pari). Un polinomio di grado 0 è semplicemente una retta orizzontale: ovvero e se calcoliamo il polinomio di grado 0 in abbiamo , quindi la retta sarà .
Ci chiediamo quale potrebbe essere il il valore di che renda l'approssimazione della funzione la migliore possibile. Consideriamo che dobbiamo approssimare la funzione coseno in un intorno di e che conosciamo il valore della funzione coseno nel punto . Per valutare il valore di e quanto l'approssimazione della funzione y=cosx con un polinomio di grado zero sia "buona", possiamo procedere con:
  • una valutazione intuitiva, utilizzando Geogebra, dalla quale determiniamo il valore di (valore che probabilmente hai già ricavato dalle considerazioni precedenti)
  • una valutazione algebrica dell'approssimazione , utilizzando un foglio di calcolo
Usa geogebra: 1. Inserisci la funzione ; 2. Inserisci il Polinomio . In automatico verrà inserito uno slider. Muovi lo slider per definire il valore esatto di

Polinomio di grado 0 che approssima la funzione y=cosx in x=0

Qualità dell'approssimazione

Ti sembra che il polinomio , rappresenti una buona approssimazione della funzione y= cosx intorno a x=0? Dove ti sembra comincino a separarsi?

Visualizzazione dell'approssimazione tra il polinomio approssimante e la funzione y=cos(x)

Dopo aver dato una risposta, completa la tabella presente nel foglio elettronico del file di geogebra che segue, inserendo opportune formule nelle celle del foglio di calcolo; nella tabella sono visualizzati i valori con 5 cifre decimali. Nella prima colonna sono stati inseriti alcuni valori, sempre più "vicini" allo zero. Nella seconda colonna vengono calcolati i rispettivi valori del coseno e nella terza colonna vengono determinati i valori delle distanze CP (|) , che possono fornire una indicazione del grado di approssimazione tra le due curve: più la distanza CP tra le due curve è piccola più è buona l'approssimazione.
Usando geogebra costruisci la visualizzazione della distanza che c'e tra la funzione e il polinomio approssimante al variare delle prese in un intorno di . N.B. devi:
  1. traccia la funzione coseno ;
  2. traccia la funzione polinomiale ;
  3. traccia la retta ;
  4. si introdurrà automaticamente uno slider che mi farà variare le scelte;
  5. visualizzare, con il comando intersezione, i punti C e P che appartengono rispettivamente alle due funzioni e corrispondenti alla scelta;
  6. visualizzare il segmento CP che rappresenta la distanza tra tali punti;
  7. visualizzare il valore numerico di tale distanza;
  8. muovi P e osserva come varia la distanza tra Ce P

Miglioriamo la qualità dell'approssimazione

Siccome la funzione y= cosx è pari, il polinomio che potrebbe migliorare l'approssimazione dovrebbe essere di 2° grado. Aggiungiamo al polinomio di grado 0 , un termine di secondo grado. Tenedo conto della concavità della funzione di y =cosx intorno a x=0, che segno dovrebbe avere il termine aggiuntivo di secondo grado? Inserisci il polinomio di 2° grado e chiama b il coefficiente del termine di secondo grado.

Per studiare il segno e il valore di b, rappresenta la funzione y=cosx su geogebra e inserisci il polinomio di secondo grado formato dal termine di grado zero e da uno slider come coefficiente del termine di secondo grado.

Determiniamo il valore di b, coefficiente del termine di secondo grado

Ti sei reso conto che non è semplice determinare il valore di b, a parte il suo segno, Procediamo facendoci aiutare da un semplice foglio di calcolo. L'idea è la seguente: determiniamo il valore di ( coefficiente del termine di secondo grado del polinomio) seguendo un ragionamento molto semplice :      
  • Prendiamo un valore di abbastanza vicino allo zero, per esempio
  •  calcoliamo la funzione coseno in :
  •  calcoliamo il valore del Polinomio di 2° grado in :
  • ricaviamo risolvendo la seguente equazione :
se risolviamo, rispetto ad l'equazione , otterremo , Se ripeti la stessa procedura per un valor di che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di sempre più vicino al valore che ti permette di approssimare meglio la funzione coseno con un polimonio . Usa il foglio excel per ricavare (con un'approssimazione di cinque cifre decimali) per i seguenti valori : ;. Ricorda che per inserire una formula in una cella del foglio di calcolo, devi inserire inizialmente il simbolo di uguaglianza e che nella formula devi inserire gli indirizzi delle celle e non il valore che vedi in esse contenuto. In questo modo potrai copiare le formule in altre celle.

Scriviamo il polinomio P_2(x) approssimante

In seguito alle valutazioni fatte scrivi di seguito il polinomio approssimante, inserendo come numero frazionario

Tjek dit svar

Ulteriore miglioramento del polinomio approssimante

Il polinomio che potrebbe migliorare l'approssimazione deve essere di 4° grado. Aggiungiamo perciò al polinomio precedente di grado 2° , un termine di quarto grado. Chiamiamo il nuovo polinomio approssimante : Per determinare il valore del coefficiente del termine di secondo grado , possiamo fare anche qui valutazioni di diversa natura:
  • una valutazione intuitiva, usando Geogebra
  • una valutazione algebrica
  • una valutazione di natura geometrica (una valutazione globale), ovvero, scegliendo un intorno di zero non troppo piccolo e minimizzando l'area sottesa tra il polinomio e la funzione coseno, usando Geogebra

Valutazione intuitiva del coefficiente c

Usa Geogebra:
  1. inserisci la funzione coseno ;
  2. inserisci il polinomio
  3. si crea automaticamente uno slider
Per capire quale potrebbero essere il segno e il valore di , fai dei tentativi, variando il valore dello slider . Ricordati che puoi anche "animare" lo slider , regolando la velocità del movimento, per osservare meglio la posizione reciproca tra il polinomio e la funzione.

Considerazioni che si possono fare sulla valutazione intuitiva del valore di c

  1. Ti sembra sia possibile stabilire quale sia il segno di ?
  2. ti sembra possibile stabilire, anche in modo approssimativo , quale sia il valore di ?

Ti sarai reso conto che, pur variando il valore dello slider, sembrerebbe non semplice capire l'esatto valore del coefficiente . Analizziamo un altro tipo di valutazione:

Valutazione di tipo algebrico del coefficiente c del termine di 4° grado del polinomio approssimante

L'idea è la seguente: determiniamo il valore di ( coefficiente del termine di 4°grado del polinomio) seguendo un ragionamento molto semplice :      
  • Prendiamo un valore di abbastanza vicino allo zero, per esempio
  •  calcoliamo la funzione coseno in :
  •  calcoliamo il valore del Polinomio di 4° grado in :
  • ricaviamo risolvendo la seguente equazione :
se risolviamo, rispetto ad c l'equazione , otterremo Se ripeti la stessa procedura per un valore di che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di sempre più vicino al valore che ti permette di approssimare meglio la funzione coseno con un polimonio . Usa il foglio excel per ricavare (con un'approssimazione di almeno cinque cifre decimali) per i seguenti valori : ;

Polinomio di 4° grado, P_4(x) approssimante la funzione coseno

In seguito alle valutazioni fatte su indica il valore di sotto forma di frazione algebrica e scrivi il polinomio di 4° grado, che meglio approssima, in, la funzione coseno:

Valutazione di natura geometrica per ricavare il coefficiente c del termine di 4° grado

Passiamo ad un altro tipo di valutazione, basato sull'area sottesa tra le due funzioni in un intervallo fissato. L'idea sulla quale si basa questa valutazione è che "più le due funzioni sono vicine", più l'area "racchiusa" tra le due funzioni è piccola; man mano che le due funzioni si avvicinano l'area diminuisce. Per questo tipo di valutazione , utilizziamo Geogebra:
  • Inserisci le due funzioni: la funzione esponenziale e il polinomio .
  • Scegli un intorno di 0, per esempio ,
  • usa il comando di Geogebra che si chiama IntegraleTra, per determinare l'area racchiusa tra le due funzioni nell'intervallo scelto.

Ti sembra che l'"idea" possa funzionare? ti sembra che la valutazione di c sia più accurata?

Valore del coefficiente c del termine di 4° grado del polinomio approssimante.

Dalla valutazione algebrica puoi dedurre il valore di . Scrivi tale valore decimale anche in forma frazionaria:

Scrivi il polinomio di 4° ottenuto ( il valore di c è 1/24)

Osservazioni sulle caratteristiche del polinomio approssimante

Confronta i polinomi usati per approssimare la funzione esponenziale intorno a : ; ; ; aggiungiamo altri polinomi approssimanti per aiutarti nelle osservazioni: ; ... Come avrai notato, man mano che aumenta il grado del polinomio, l'approssimazione migliora. In altre parole: 1) il grafico del polinomio “tocca” quello di in con un contatto sempre più accurato man mano che aumenta il grado del polinomio approssimante. 2) l’approssimazione è particolarmente buona vicino a x=0 e l’intervallo in cui il polinomio approssima bene la funzione si allarga aumentando il grado. Ma quale altra osservazione si potrebbe fare?

Osserva il segno dei termini

  • Confronta i polinomi usati per approssimare la funzione coseno intorno a : ; ; ; ; ...
  • 1) Che segno hanno i termini dei polinomi? Scrivi delle osservazioni.

Osserva le potenze di x

Confronta i polinomi usati per approssimare la funzione coseno intorno a : ; ; ; ; ...

  1. Qual è la potenza di più alta che compare in ?
  2. Qual è la potenza più alta in ?
  3. Qual è la potenza più alta ina ?
  4. Che relazione c’è tra il numero del polinomio ​ e la potenza più alta di ?
  5. Quali potenze di compaiono nel polinomio ?
  6. Mancano potenze tra e ?

Scrittura estesa del polinomio approssimante di grado 10

Scrivi per esteso il polinomio approssimante

Scrittura sintetica del polinomio approssimante attraverso l'utilizzo del simbolo di sommatoria

Per la funzione coseno, viene lasciato a te il compito di scrivere il polinomio in forma sintetica! Sintetizziamo però prima alcune osservazioni fatte precedentemente. Possiamo dire che: “Il coseno prende solo le potenze pari, e ogni volta cambia segno.”

1° domanda: come puoi tradurre in modo sintetico il fatto che le potenze che compaiono sono solo pari?

“solo potenze pari” significa descrivere tutti i numeri pari con un indice. Quale?

Scrittura del polinomio in forma sintetica

Sei pronto per scrivere il polinomio approssimante P_10(x) attraverso l'uso dell'operatore di sommatoria. ( si suggerisce di utilizzare Inserisci Equazione in Microsoft Word usando la scheda INSERISCI -> Equazione Fare poi uno screenshot della formula, incollarla su un foglio di word, rimpicciolire la formula, copiarla ed incollarla nella zona risposta

Visualizzazione con geogebra del polinomio approssimante

Utilizza geogebra per visualizzare il polinomio approssimante. Segui le seguenti istruzioni:
  • inserisci
  • inserisci il polinomio nel seguente modo: usa la formula somma:
La formula somma (espressione, variabile, valore iniziale, valore finale) rappresenta una sommatoria matematica (spesso indicata con il simbolo  - sigma maiuscolo), utilizzata per calcolare la somma dei valori di un'espressione al variare di una variabile tra un limite inferiore e uno superiore. inserisci : =somma() . Lasciamo a te il compito di individuare l'espressione corretta della formula; è uno slider che automaticamente comparirà, che ti permetterà di aumentare a tuo piacere i termini della somma e avere polinomi che sempre più si adagiano sulla funzione esponenziale intorno allo zero. Nelle impostazioni dello slider assegna ad come valore minimo lo zero e come valore massimo un valore alto, per esempio 50. Ti accorgerai che il polinomio con un grado alto , approssimerà molto bene la funzione esponenziale non solo in un intorno di

Visualizzazione del polinomio approssimante la funzione coseno al variare del grado, attraverso Geogebra

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