Rectángulos en una escalera
¿Cuantos rectángulos pueden formarse con puntos de una retícula cuadrada contenidos en un polígono con forma de 'escalera' y lados paralelos a la retícula?
Por 'escalera' se entiende un políigono formado por un par de lados perpendiculares y de igual longitud, unidos por una escalera de n peldaños iguales.
La forma más sencilla de verlo es ituar la escalera bajo la recta y = x - 1 y sobre el eje Ox, o por encima de la recta y = x+ 1 y apoyada en el eje Oy, y darse cuenta que las coorcdenadas a, b, c y d que definen completamente los cuatro vértices de cualquier rectángulo tienen que ser así números distintos comprendidos entre 0 y n+2. Hay por tanto Comb(n+3, 4) = (n+3)(n+2)(n+2)n/24 posibilidades (https://oeis.org/A000332).
Es curioso que coincida con el nº de triángulos que pueden situarse en una malla triangular de puntos de lado n (n+1 puntos por lado), con cualquier orientación. También el nº de intersecciones de las diagonales de un polígono convexo con n+2 lados, o el número de tetraedros regulares en una malla tetraédrica con la misma orientación. ¿Será posible estableces una biyección entre estos objetos?
La solución es de los rumanos Teofil Bogdan and Mircea Dan Rus (https://arxiv.org/pdf/2007.13472.pdf)