4.1 Introducción
Metodos Alternativos de Solución de Ecuaciones Lineales
Lejos, el método más importante de resolver sistemas de ecuaciones lineales es el Método de Eliminación, este método fue descubierto hace más de dos siglos para resolver problemas de Cuadrados mínimos y hasta el día de hoy es el método más usado y el que usan todos los paquetes de software Mathematica, GeoGebra, SymbolLab etc para resolver sistemas de ecuaciones, las tres razones más importantes ventajas de este método son:
1. Sencillez: Es un método muy sencillo y directo
2. Universalidad: El método entrega las soluciones de cualquier sistema de ecuaciones lineales sin restricción
3. Eficiencia: Es un método muy rápido y eficiente.
Los métodos alternativos que exploraremos en el libro en este capítulo (tres en total) son útiles en algunos contextos pero tienen una gran desventaja muy grande con respecto al método de Eliminación:
Sirven solo para sistemas de ecuaciones con igual número de ecuaciones que de incógnitas, los llamados sistemas cuadrados, o sea solo resuelven sistemas con solución única.
Esto hace que estos métodos sean muy poco usados ya que
* en la "vida real" si se quiere encontrar un modelo matemático para un sistema natural o social usando ecuaciones lineales , es muy improbable que el modelo que se obtenga tenga igual número de ecuaciones que de incógnitas
* En el área de Big Data, donde se maneja información contenida en tablas o matrices con muchos datos, las bases de datos organizadas en tablas (o Matrices) son normalmente rectangulares y no cuadradas.
La Matriz Inversa un nuevo enfoque
Un enfoque diferente al método de eliminación de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales comienza con representar un sistema de ecuaciones no usando la matriz aumentada sino representando el sistema de la forma matricia
Por ejemplo consideremos el siguiente sistema de 2x2:
Sin usar lápiz y papel trate de encontrar mentalmente una solución a este sistema ( Ayuda: los valores de x y de y son números enteros pequeños)
Recuerde que multiplicar una matriz por un vector se puede hacer por columnas y entonces:
y entonces Este sistema lo puede expresar de la siguiente manera:
Esta representación es la forma más común de expresar un sistema de ecuaciones,:
* es la matriz de coeficientes de las variables del sistema
* el véctor de incógnitas y
* es el vector de partes derechas de las ecuaciones.
La idea
Si tenemos un sistema de ecuaciones en la forma:
Y queremos resolverlo se nos puede ocurrir pensar en "despejar" x el vector de incógnitas y entonces simplemente:
"Pasar la matriz A a dividir y así queda despejada"
o sea:
Entonces debemos dividir el vector por la matriz y listo, pero ¿esto cómo se hace? Encontrar como se divide un vector por una matriz fue un interesante descubrimiento que permitió resolver un sistema de ecuaciones de otra manera.
Si recordamos el álgebra elemental recordaremos que hay dos métodos de resolver una ecuación como:
una corta y una larga, la corta es pasar a dividir 3 y listo:
la larga es multiplicar a ambos lados por 1/3
Este manera larga , que es equivalente a la corta, de hecho es la que justifica a la corta resuelva la ecuación multiplicando a ambos lados por un mismo número, este número tiene la propiedad "mágica" de eliminar el 3 de la parte izquierda de la ecuación y dejar sola a la x.
La pregunta entonces la podemos replantear preguntando
¿Existe una Matriz de 2x2 tal que al multiplicar a ambos lados la ecuación multiplique la matriz A y deje solo el vector ?
En el caso del sistema de 2x2 que planteamos al comienzo la respuesta es afirmativa, la matriz mágica es:
Miremos:
y entonces la solución del sistema es ,
Pero entonces las preguntas son:
1. ¿Cómo se encuentra la Matriz Mágica M?
2. La matriz M se puede encontrar para cualquier sistema de ecuaciones?
Esta Matriz Mágica se llama en los libros Matriz Inversa:
1. Veremos dos métodos de encontrar la Matriz Inversa y resolver el sistema de ecuaciones en los numerales 4.2 y 4.4
2. La respuesta es NO.Existen sistemas de ecuaciones para los cuales no es posible encontrar la Matriz Inversa.
A continuación pueden consultar un explicador interactivo que explica el método general para resolver un sistema de ecuaciones encontrando la matriz Inversa: