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GeoGebraTarefa

Questão06 - ENQ 2020/1

Um poliedro é dito inscritível se existir uma esfera que passa por todos os seus vértices. Mostre que um prisma reto cuja base é um polígono regular é um poliedro inscritível.

A solução da questão consiste em argumentar que as bases do poliedro, dois polígonos são inscritíveis por dois círculos de mesmo raio e centro e OP. A seguir, toma-se o ponto tal que seja o ponto médio de . Escrevendo os polígonos como e Cada um dos triângulos , , serão todos triângulos retângulos congruentes pelo caso Cateto Cateto. E assim, é o centro da esfera que passa por todos os e . No arquivo do geogebra abaixo, está a demonstração visual desse exercício, mas, montando os segmentos apenas com a base de baixo. Incialmente foi feita uma lista (l1) com os pontos da base do polígono, dividindo a circunferência na quantidade desejada (n). Isso pode ser ajustado no controle deslizante n. A seguir, o poliedro foi feito, com altura h (o segundo controle deslizante, que também pode ser ajustado). Podem-se aqui, traçar as circunferências nas duas bases, utilizando 3 pontos dela. Para facilitar a montagem, o poliedro .está centrado no eixo , permitindo marcar o ponto como (). A seguir, foi criada outra lista, (l2) com os segmentos, ligando os vértices de l1 com o centro , formando os triângulos encontrados na prova da proposição. Criou-se a esfera, usando como centro e o ponto (para que a esfera não "suma" ao diminuirmos a quantidade de vértices, utilizamos A que é fixo). Perceba que ao alterar a altura, a esfera também se altera, mas continua existindo. Ao alterar apenas o número de vértices, a esfera se mantém inalterada.