Fórmula de Bretschneider

Permite calcular el área de un cuadrilátero en función de los lados y de un par de ángulos opuestos. Se aplica el Teorema del coseno a los dos triángulos determinados por una diagonal. Como los cuatro ángulos suman 360º, sus mitades suman 180º y cos((α+γ)/2) = -cos((β+δ)/2), por lo que sus cuadrados son iguales y, como era de esperar, es indiferente el par de ángulos opuestos que se elijan. Debida al matemático alemán Carl Anton Bretschneider (1808-1878), que la descubrió en en 1842. Es válida para cualquier cuadrilátero simple, aunque no sea convexo. Con las convenciones adecuadas, se extiende a los cruzados.
Pueden desplazarse los vértices, cuidando de que el cuadrilátero siga siendo simple. De ella se deduce de forma inmediata la Fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico, pues entonces los ángulos opuestos suman 180º y el área queda: Se deduce que de todos los cuadriláteros que comparten las mismas longitudes de los lados, el de área máxima es el inscrito, y con independencia del orden relativo de los lados. A partir de ésta última, haciendo d=0 se obtiene la Fórmula de Heron para el área de un triángulo: