Ein neues Kreis-6-Eck Gewebe?
Diese Aktivität ist Teil des GeoGebra-books Sechsecknetze (6. April 2019)
Nachtrag (7. April): Die Antwort lautet einfach nein! Es handelt sich im Gegenteil um ein leicht zu erkennendes Beispiel eines 6-Eck-Gewebes aus Kreisen. Die komplexe Konstruktion der 7 - Kreise - Konfiguration hat uns davon abgehalten, die 6 - Eck - Konstruktion ohne das Umfeld unvoreingenommen zu analysieren. Aus dem 7 - Circles - Theorem folgt, dass die diagonal gegenüberliegenden Berührpunkt-Paare die Grundpunkte von drei hyperbolischen Kreisbüschels sind. Stereographisch auf die RIEMANNsche Zahlenkugel projiziert liegen die zugehörigen Geraden nicht nur in einer Ebene (die Berührpunkte liegen auf einem Kreis), sondern sie schneiden sich in einem Punkt! Nun ist einfach zu sehen, dass die Kreise von drei Kreisbüscheln, deren Achsen im Raum sich in einem Punkt schneiden, stets ein 6 -Eck -Gewebe bilden: die Kreise entstehen als Schnitt der Kugel mit den Ebenen, die durch eine solche Achse gehen. Schneidet man diese 3 Ebenenbüschel mit irgend einer Ebene, welche die Achsen nicht enthält, so entstehen 3 Geradenbüschel. Diese bilden immer ein 6 - Eck - Gewebe! Siehe die Seite Kleine Gewebelehre. Man könnte umgekehrt fragen, ob 3 Kreisbüschel, deren Achsen sich im Raum in einem Punkt schneiden, Anlaß zu einer ähnlichen 7 - Berührkreis - Konfiguration sein könnten. Bei einer 7 - Kreise - Konfiguration (siehe 7 Kreise seven circles theorem) gehen durch jeden Punkt P der Ebene drei Kreise: jeweils durch P und 2 diagonal liegende Punkte des Berührpunkte-6-Ecks. Die 3 Kreisscharen scheinen ein 6 - Eck - Gewebe aus Kreisen zu bilden. Ja, sie tun es! Wilhelm Blaschke hat 1938 die Frage nach allen 6 - Eck - Geweben aus 3 Kreisscharen gestellt (Blaschke, W., Bol, G.: Geometrie der Gewebe, Berlin 1938) . Meines Wissens ist diese Frage bisher nicht beantwortet. Siehe hierzu die Seite Kleine Gewebelehre.