Teorema fondamentale dell'algebra
- Autore:
- F. Manzo
- Argomento:
- Algebra
Come dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra
E' immediato osservare che l'equazione non ha soluzioni per reali.
Se invece è un numero complesso, non solo l'equazione ma
tutte le equazioni del tipo "polinomio(z) = 0" hanno soluzione.
Per dimostrare questo risultato (Gauss 1799), prendiamo su una circonferenza di raggio . Al variare del punto sulla circonferenza, il punto descriverà una curva nel piano immagine (in rosso). E' facile dimostrare che questa curva è chiusa (l'idea è che tornando allo stesso punto di partenza dopo un giro, l'elevazione a potenza di non si accorge della differenza). Inoltre, quando il raggio è nullo, sia la circonferenza di partenza che la curva immagine si riducono a dei punti: rispettivamente e . Se è nullo, abbiamo trovato la soluzione, altrimenti l'origine è al difuori della curva immagine. Ma cosa succede se il raggio della circonferenza diventa grandissimo? Il polinomio si comporta essenzialmente come il suo termine di grado massimo, e quindi il punto immagine sarà all'incirca sulla circonferenza di raggio . Basta prendere abbastanza grande e l'origine è dentro alla curva immagine. Siccome la curva immagine varia con continuità al variare di e siccome l'origine è fuori dalla curva per piccolo mentre è dentro la curva per grande, ci sarà un valore di in cui la curva tocca l'origine. In altre parole, ci sarà uno dei punti della circonferenza che ha come immagine 0, e quindi è soluzione dell'equazione . Nel foglio di lavoro GeoGebra, i punti del piano blu hanno immagine nel piano rosso. Possiamo studiare due polinomi:- oppure