Le soluzioni complesse delle equazioni di 2 grado
- Autore:
- F. Manzo
- Argomento:
- Numeri complessi, Equazioni
Una volta denotata con l'unità immaginaria, possiamo scrivere il risultato della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado qualsiasi sia il segno del discriminante:
.
Se il discriminante è negativo, le radici sono numeri della forma p+iq, con p e q numeri reali. Ad es.,
Se , allora prende il nome di "parte reale" e è detto "parte immaginaria" del numero complesso z. Ogni numero complesso è dunque caratterizzato da due numeri reali.
Nel foglio seguente, le radici dell'equazione sono rappresentate nel piano complesso (piano di Gauss-Argand): la parte reale del numero complesso è rappresentata dalla sua ascissa, la parte immaginaria dalla sua ordinata.
Cambiando i valori dei coefficienti b e c, possiamo osservare come si muovono le radici e dell'equazione.
Attiva la traccia dei punti e . Qual'è il luogo di questi punti al variare di b?
Riconosci il significato algebrico della somma e del prodotto ?
La simmetria tra e è evidente. Sono numeri del tipo e , che differiscono cioè per il segno della parte immaginaria, detti "complessi coniugati". Il loro prodotto è
.
Questo numero rappresenta il quadrato del "modulo" del numero complesso (tanto di che di ), definito come la lunghezza del segmento che collega il punto con l'origine, e si indica con il simbolo .
Ti sei accorto che il modulo quadro di è uguale a che a sua volta è uguale a ?
Ecco perchè, cambiando , e si muovono su una circonferenza: hanno sempre distanza dal centro!