de middentoonstemming
Oplossing om een reine terts te bekomen
De kwintverhouding moet dus iets verkleind worden, nl. van 3/2 (= 1,5) tot 4√5 = 1,4953
Dit is wiskundig mooi gevonden, want de tertsverhouding komt nu perfect uit op 5/4:
4 kwinten : 2 octaven wordt nu immers = 4√5 x 4√5 x 4√5 x 4√5 :4 = (4√5)4 : 4 = 5 : 4.
Resultaat:
- De terts is perfect rein.
- De kwint is iets te klein maar wijkt nauwelijks af van de 3/2 verhouding.
- Alle afstanden kunnen berekend worden vanuit de kwint.
- De afstanden C-D en D-E zijn even groot en niet meer groot en klein zoals in de reine stemming.
- Omdat de kwint niet helemaal perfect is, verschilt de klankkleur van de verschillende toonaarden.
Dit wordt bewust gebruikt door componisten in de keuze van een toonaard.
In volgende tabel kan je de berekening voor de middentoonstemming aflezen.
| toontrap | berekening door kwinten | verhouding frequenties | frequentie la = 440 Hz | frequentie rein | frequentie gelijkzwevend | |
| prime (C) | C | 1/1 | 1/1 | 440 Hz | 440 Hz | 440 Hz |
| secunde (D) | C - G - D 2x kwint : 1 octaaf terug | 4√5 x 4√5 : 2 | 1,118 | 492 Hz | 495 Hz | 494 Hz |
| terts (E) | C - G - D - A - E 4x kwint : 2 octaven terug | (4√5)4 : 4 | 5/4 | 550 Hz | 550 Hz | 554 Hz |
| kwart (F) | F - C dalende kwint van octaaf | 2 : 4√5 | 1,3375 | 588 Hz | 587 Hz | 587 Hz |
| kwint (G) | C - G | 4√5 | 1,49535 | 658 Hz | 660 Hz | 659 Hz |
| sext (A) | C - G - D - A 3x kwint : 1 octaaf terug | (4√5)3 : 2 | 1,672 | 735 Hz | 733 Hz | 740 Hz |
| septime (B) | C - G - D - A - E - B 5x kwint : 2 octaven terug | (4√5)5 : 4 | 1,87 | 822 Hz | 825 Hz | 830 Hz |
| octaaf (C) | C - C | 2/1 | 2/1 | 880 Hz | 880 Hz | 880 Hz |
Barok - de middentoonstemming 'bijgestemd'
In de kwintverhouding 4√5 wordt de kwint met 1/4 van een komma (= 1/9 van een hele toon) verkleind.
De correcte benaming is daarom de 1/4 komma-middentoonstemming, want er bestaan ook 1/5 en 1/6 komma middentoonstemmingen waarbij de kwint minder sterk verlaagd wordt.
Dit zijn compromissen tussen kwint en terts. De tertsen klinken minder zuiver, maar de kwint dan weer iets zuiverder.
Waarom deze alternatieven als met een kwintverhouding 4√5 de terts rein klinkt en dus alles in orde lijkt?
Met een kwintverhouding 3/2 komen 12 kwinten uit op (3/2)12 = 129,7 tegen (2/1)7 = 128 voor 7 octaven.
De kwint is dus te groot en de kleinere middentoonkwint lijkt een goed middel om dit te verhelpen.
Maar met een kwintverhouding 4√5 komen 12 kwinten uit op ( 4√5)12 = 125 ...
wat dan weer dramatisch te klein is.
In de barokmuziek worden daarom meerdere alternatieven ontwikkeld. Enkele voorbeelden:
Silbermann
De 18e eeuwse orgelbouwer Silbermann besluit de kwint iets minder te verlagen dan de 1/4e komma.
De terts is nu niet helemaal rein, maar de kwintencirkel sluit op het eind beter aan.
Werckmeister
Een tweede alternatief is 4√5 aan te houden, maar ze niet op alle kwinten toe te passen.
Eveneens begin18e eeuw past Werckmeister deze methode toe.
Meer details over barokstemmingen lees je in het aparte hoofdstuk 'barokstemmingen'.