４．極方程式と曲線
このページは電子ブック「探求 数学Ⅲ」の一部です。
★ｒを変える？θを変える？どう変える？
１．極座標と基本図形
＜極座標＞
ｘ軸の正の部分OXから反時計周りに測った角（偏角[argument]）と、原点からの距離（動径[radius]）で
点P（rcosθ, rsinθ)の位置を直交座標のかわりに動径ｒと偏角θのペア(r；θ)で表すものを
極座標[polar coordinates]という。テキストによっては極形式でも(r, θ)と書いているものもある。
しかし、直交座標との混同しやすいので、今後Geogebraのかき方（ｒ；θ）を極形式とする。
極座標のシステムでは、原点Oを極という。
＜原点を通る図形の極方程式＞
ｒだけ指定、θだけ指定、または、ｒとθの関係式で、点集合を表す極方程式
・ｒだけ指定すると円
原点を通る半径kの円の極方程式はｒ＝ｋだけでよい。
（例）P=（1；θ）
・θだけ指定すると直線
原点を通る角度ｐの直線の極方程式はθ=pだけでよい。
たとえば、θ=π/4だとすると、45度線ｙ＝1/2 ｘになる。
しかし、ｒを正に限ると第1象限だけの半直線
になってしまう。だから、ｒが０や負の場合も入れないと直線全部を表すことができないことに
注意しよう。
（例）P＝(tanθ；π/4)
・ｒcos(θ- a)= r0 は、点A(r0：a)を通りOAと垂直な直線
（理由）
点P(r：θ), 点A(r0：a)があるとき、角PAOが直角の直角三角形POAがある。
辺PO=rで、角POA＝θ- aだから、辺OA＝r cos(θ- a)＝r0となるね。
つまり、法線OAで、点Aを通る直線上の点Pが満たす方程式になっている。
・ｒ2- 4ｒsinθ- 1=0 は、中心A（0, 2)で、半径√5の円
（理由）
P（ｘ，ｙ）とすると r2=x2+y2 x=rcosθ、y=rsinθ の置き換えができる。
x2+y2-4y-1=0 x2+(y-2)2=5
・r = e-θ，r = eθは螺旋
（理由）
r2=x2+y2=e±2θcos2θ+e±2θsin2θ=e±2θ これから、ｒ＝e±θ
・r = aθ アルキメデスのらせん。動径がθに比例するから、２，３回転すると、極から２，３倍離れた
ところを通る。だから、通常のr=eθ螺旋のように急激な発散をしない。
（例）P=（1.2θ；θ)
★ｎと葉の数ってどうつながってるの？
２．正葉曲線
＜正葉曲線＞
(sin(nθ)；θ) は極を中心に合同な図形のパーツ（葉）が対称的に並ぶので
正葉曲線[Rose Curve]と呼ばれることがある。
＜実験＞
らせんの１種のように見えるがｎが振動のスピードを早めている。
n=1のときは円と同じくθ=0で極からスタートし、θ=π/2でr=1のピークで、θ=πでr=0で極にもどる。
n=2だと２倍の速さでθ=π/(2・2)で2θ=π/2となりr=1のピークになる。
そのα前後の角でsin(π/2＋α)=sin(π/2ーα）サインの左右の対称性[symmetry]から、値が等しくなる。
だから、y=tan(π/4)を軸にP(r：θ)の位置は線対称になる。だから、丸みのある葉の形になるね。
n=3だと３倍の速さでθ=1/3・π/2でr=1のピークになる。
＜一般化＞
振動数ｎの数はOXからスタートしてｎ倍の速さでθ=π/2nでnθ=π/2となりr=1のピークになる。
四分円のｎ分の１のところに１枚めの葉がくるということだね。
sin(π/2＋α)=sin(π/2ーα）と１枚目の葉はy=tan(π/2n)を軸にP(r：θ)の位置は線対称になり、
θ=π/nになると、nθ=πとなりr=0となり極にもどり、丸い葉の形になる。
★2次曲線がみんな仲間に見えるとき
３．２次曲線と極形式
準線との関係を極形式で表してみよう。
準線エルをｘ＝-a(a>0)とし、P＝（ｒ；θ）とするとOP=r 、角POX＝θとなる。P(x,y)=(r cos θ, r sin θ)
Pからエルに下ろした垂線の足をHとすると、PH=a+x(P)=a + r cos θだから、
となり、この値をe（離心率、逸脱率[eccentricity]）と名付ける。
＜離心率の思考実験＞
・e=１のまま、Pが動けばPO=PHとなり、Pは放物線を描くだろう。POが巨大になるとPHも巨大になるから、極からどんどんはなれていく。
・もしe=0.5のまま、Pが動くとPO=PH×0.5のため、Pが準線から右にいくと、POも増加するはずだが低空飛行にしないとOPが大きくなりすぎる。そのため、PHには上限がある。逆にPが準線に近くなり、Oの真上を通りすぎるとPは低くなり、PHの下限がある。つまり、楕円のようになりそうだ。
eの値が１より小さいと点Pは極から離れるには限度があると。まさに、eは離心率という語感にあう。
・逆にe=2のまま、Pが動くと楕円のときとは逆に、放物線以上に上空に離れていく双曲線になりそうだ。
＜離心率と一般化＞
Oが極で、a,eが正のとき、点P(r；θ）の軌跡はOが焦点の２次曲線を表す。
・rについて解くと、r=e(a+rcosθ)=ea+r(ecosθ)。r(1-ecos)θ=ea。ea=ｋとおくと、r=
P= ( ea/(1-e cosθ) ；θ) が極方程式になるね。
これを直交座標形の方程式にしてみよう。
PH=a+x で、r=e(a+x)。r2=x2+y2=e2(a+x)2。
・e=1のとき、x2+y2-(a+x)2=0 。(x+a+x)(x-a-x)+y2=0 y2=a(2x+a)=4・(1/2a)・(x + a/2)。
これから、準線がｘ＝-1/2a-1/2a=-a、焦点が(1/2a+-1/2a,0)=(0,0)の放物線と言えるね。
・e=1でないとき、ea=kとおく。
x2+y2-(k+ex)2=x2-e2x2-2kex-k2+y2=0
▢ eが1より小さいとき、(1-e2)は正。楕円の式になる。
軸が2a=2ke/(1-e2),2b=2ke/√(1-e2)の楕円を、ｘ軸方向にk/(1-e2)移動したものだ。
▢ eが１より大きいとき、(1-e2)は負。頂点が(ke/(1-e2),0) ,(-ke/(1-e2)の双曲線の式になる。
漸近線y=±b/ax=±(ke/√(e21) )/(ke/(e2-1)) x= ±√(e2-1)xを、ｘ軸方向にk/(e2-1)移動したものだ。