Área de un polígono en coordenadas cartesianas
Supondremos inicialmente que todo el polígono se halla en el primer cuadrante. Veremos luego que esto es indiferente. Para hallar su área basta calcular las áreas de los trapecios que forman cada uno de sus lados con el eje Ox, con los segmentos verticales por sus extremos (las bases de los trapecios. Vemos que el área del polígono es la diferencia entre las sumas de las áreas de los trapecios que llegan hasta la parte superior, menos los que no lo hacen, que están incluidos en el conjunto de los anteriores: |AA'E'E| + |EE'D'D|-|AA'B'B|-|BB'C'C|-|CC'D'D|.
Si nombramos/numeramos los vértices en sentido positivo, contrario a las agujas del reloj, la diferencia entre la abscisa del primer punto y la del segundo nos dirá de manera automática si el área debe sumar o restar. Si aplicamos este criterio con los vértices ordenadas en sentido negativo, el de las agujas del reloj, el valor resultante será el del área pero con signo negativo.
Al desarrollar para el área de cada trapecio el producto de la diferencia de abscisas por la suma de las ordenadas, quedan cuatro términos. Pero de ellos, los que tienen igual subíndice para abscisa y ordenada se cancelan con los correspondientes a los trapecios contiguos. Quedan así solo 2n productos, en lugar de 4n, siendo n el número de vértices. Para cada par de puntos consecutivos, en el orden que hemos adoptado, queda el producto de la abscisa del primero por la ordenada del segundo, menos la abscisa del segundo por la ordenada del primero. Esto se corresponde con el determinante de una matriz 2×2.
Aunque en la figura el polinomio está inicialmente en el primer cuadrante, puede arrastrarse por cualquier punto de su interior para ver que aunque cambien las coordenadas, siendo incluso negativas, el valor calculado no cambia. Esto se debe a que cualquier desplazamiento del polígono puede descomponerse en uno vertical y otro horizontal. En el vertical las abscisas quedan inalteradas, mientras las ordenadas cambian en la misma cantidad. Como todas las abscisas figuran una vez sumando y otra restando, el resultado no cambia.
El polígono puede ser cóncavo, aunque no cruzado, su perímetro no debe autointersecarse. De ser cruzado, el valor obtenido corresponderá a la diferencia de las áreas determinadas, pues se recorreran con distintos sentidos. Pueden desplazarse los vértices para obtener polígonos cóncavos.
Para calcular el valor del área se pueden disponer las coordenadas de los puntos como en la figura siguiente, añadiendo al final de nuevo el punto (x1, y1). Se multiplican las coordenadas unidas por flechas, cambiando el signo a los productos correspondientes a las flechas azules. Por eso se suele conocer esta fórmula como del «cordón de zapatos» o de la «lazada» («shoelace» en inglés). En el caso de un triángulo, se puede calcular como un determinante de orden tres, añadiendo una columna de unos.
Si en lugar de un polígono tenemos una curva cerrada y simple (sin autointersecciones), para aproximar su área puede inscribirse en ella un polígono con n vértices y aplicar la fórmula. Si hacemos que n → ∞ de forma que las longitudes de todos los lados tiendan a cero, la diferencia de las abscisas da lugar al -dx, la media de las ordenadas a la y, y en definitiva, la suma nos lleva a la integral a lo largo del perímetro de -ydx. Si se integra respecto al eje Oy, ahora las y crecientes producen contribuciones positivas mientras que las decrecientes negativas, y el integrando debe ser xdy. Como ambas integrales son iguales al valor del área, pueden sumarse y dividir por dos, para obtener la última integral de la figura, más simétrica. Esta última, por el teorema de Green, es la integral de dxdy en el interior de la curva. Es decir, el área que encierra.