El triángulo hiperbólico y sus puntos notables

Las geometrías no euclidianas surgen a raíz de los trabajos generados por el problema de las paralelas, es decir, por los intentos para demostrar que el V postulado de Euclides era independiente de los demás. La geometría hiperbólica, considerada la primera geometría no euclidiana, tiene su origen fundamentalmente en los trabajos desarrollados de manera independiente, en el siglo XIX, por J. Bolyai, C. Gauss y N. Lobacheswky al considerar una de las formas de negar el quinto postulado, a saber, por un punto exterior a una recta pasa más de una paralela a dicha recta y desarrollar todo un compendio de proposiciones no contradictorias.  En esta actividad se presentan algunas herramientas para geometría hiperbólica, desarrolladas en GeoGebra y que posibilitan la experimentación, visualización, verificación y comprobación de que tan válidos son algunos resultados de geometría euclidiana en geometría hiperbólica. Estas herramientas sirven de apoyo a un texto, sin publicar, Geometría hiperbólica y GeoGebra, en el que se describe de manera más amplia, la forma de construir las herramientas, su sustento teórico, se discute la validez algunos resultados de geometría euclidiana en geometría hiperbólica y lo complementa unos ejercicios en la misma línea de experimentación.

Una de las maneras de estudiar la consistencia de una geometría consiste en presentar un modelo para ella. H. Poincaré presentó dos modelos euclidianos para la geometría hiperbólica: El modelo del semiplano superior y el disco de Poincaré. Describimos someramente el último de ellos. Consideremos una circunferencia H de centro en el origen y radio 1. El interior de esta circunferencia se conoce como el Disco de Poincaré.  Los puntos en el disco son los puntos hiperbólicos y las rectas hiperbólicas son los diámetros de la circunferencia o los arcos de circunferencia en el interior del disco que son ortogonales a la circunferencia. Los puntos en la circunferencia H se llaman puntos impropios. La fundamentación teórica que permite construir objetos hiperbólicos se encuentra fundamentalmente en la teoría de la inversión y en la razón cruzada, un excelente texto en el cual Ud. puede encontrar estos conceptos es: Venema, G. (2012), Foundations of geometry.

El menú hiperbólico que se encuentra en esta actividad consta de 14 herramientas, que permiten la creación de algunos objetos hiperbólicos. Las herramientas consideradas son:    Recta hiperbólica: Dados dos puntos, crea la recta hiperbólica entre ellos.      Segmento hiperbólico: Dados dos puntos, crea el segmento hiperbólico entre ellos. Segmento hiperbólico de longitud dada: Dados un punto y un número positivo, crea el segmento hiperbólico a partir del punto y con longitud el número dado. Semirrecta hiperbólica: Dados dos puntos, crea la semirrecta recta hiperbólica con origen en el primer punto. Circunferencia hiperbólica centro-punto: Dados dos puntos, crea la circunferencia hiperbólica con centro en el primer punto y que pasa por el segundo. Circunferencia hiperbólica centro-radio: Dados un punto y un número positivo, crea la circunferencia hiperbólica con centro en el punto y radio determinado por el número dado. Distancia hiperbólica: Dados dos puntos, calcula la distancia hiperbólica entre ellos. Ángulo hiperbólico. Dados tres puntos no colineales, calcula la medida del ángulo hiperbólico con vértice en el segundo punto. Bisectriz hiperbólica. Dados tres puntos no colineales, crea la bisectriz hiperbólica del ángulo hiperbólico con vértice en el segundo punto. Recta impropia. Dados dos puntos en la circunferencia unitaria, crea la recta hiperbólica determinada por ellos. Punto medio hiperbólico. Dados dos puntos, crea el punto medio hiperbólico entre ellos. Perpendicular hiperbólica punto interior. Dados dos puntos de una recta hiperbólica y un tercer punto en la recta, crea la perpendicular hiperbólica en el tercer punto. Perpendicular hiperbólica exterior. Dados dos puntos de una recta hiperbólica y un tercer punto fuera de la recta, crea la perpendicular hiperbólica que pasa por el tercer punto. Cuadrado hiperbólico. Dados dos puntos, crea el cuadrado hiperbólico con lado determinado por los dos puntos. NOTAS: 1.      La utilización de cualquier herramienta del menú hiperbólico, requiere en primera instancia, dar clic sobre la circunferencia de Poincaré H. 2.      Dos referencias básicas para estas construcciones son: Goodman-Strauss, C. (2001). Compass and Straightedge in the Poincaré Disk y Joseph M., Kim W., Ekaterina L., and Hong Z. GeoGebra Tools for the Poincaré Disk. Los puntos notables de un triángulo hiperbólico

En geometría euclidiana, un triángulo posee más de 50000 puntos notables, sin embargo, en la enseñanza básica, únicamente se consideran cuatro de ellos, a saber: El baricentro, el incentro, el circuncentro y el ortocentro. Nuestro propósito en verificar o no, a través de GeoGebra, la existencia de estos puntos en un triángulo hiperbólico y algunas de sus propiedades. Las actividades a desarrollar son: a.      Construya las bisectrices de un triángulo hiperbólico. ¿Son concurrentes? Si este punto de concurrencia existe, ¿equidista este punto de los tres lados del triángulo? ¿Qué puede concluir Ud. de esta observación? b.      Construya las medianas de un triángulo hiperbólico. ¿Son concurrentes? Si este punto de concurrencia existe, ¿divide este punto a la mediana en la proporción dos tercios? c.       Construya las alturas de un triángulo hiperbólico. ¿Son concurrentes? Mueva, los vértices del triángulo, ¿Qué observa? Desde el punto de vista teórico ¿Puede explicar por qué sucede esto? d.      Construya las mediatrices de un triángulo hiperbólico. ¿Son concurrentes? Si este punto de concurrencia existe, ¿equidista este punto de los tres vértices del triángulo? ¿Qué puede concluir de esta observación? Mueva, los vértices del triángulo, ¿Qué observa? Desde el punto de vista teórico ¿Puede explicar por qué sucede esto?

Consideramos tres puntos no colineales en el disco de Poincaré, digamos A, B y C y con la herramienta segmento hiperbólico, construimos los segmentos hiperbólicos AB, BC y AC con lo cual hemos construido el triángulo hiperbólico ABC. Con la herramienta bisectriz hiperbólica, construimos, por ejemplo, la bisectriz del ángulo BAC y la del ángulo ABC y tomamos su punto de intersección I. Trazamos la bisectriz hiperbólica del ángulo ACB y con la herramienta de GeoGebra, Relación, podemos verificar que el punto I está en la última bisectriz. También podemos mover los vértices del triángulo y verificar que la construcción soporta la prueba del arrastre. De esta manera hemos verificado que las bisectrices de un triángulo hiperbólico son concurrentes. El punto de concurrencia es el Incentro hiperbólico I, del triángulo. Si desde el punto I, con la herramienta Perpendicular hiperbólica exterior, se construyen perpendiculares hiperbólicas a los lados AB, BC y AC del triángulo hiperbólico ABC y se marcan los puntos de intersección con P, S y V, entonces Ud. puede trazar la circunferencia hiperbólica con centro en el incentro I que pasa por el punto P y utilizar las herramientas adecuadas de GeoGebra o del menú hiperbólico para verificar que los punto S y V están sobre esta circunferencia, la cual es el incírculo hiperbólico del triángulo ABC.

b. El baricentro hiperbólico. Una vez construido el triángulo hiperbólico ABC, con la herramienta punto medio hiperbólico construimos los puntos medios D, E y F de los lados AB, BC y AC respectivamente y con la herramienta segmento hiperbólico trazamos los segmentos hiperbólicos AE, BF y CE que corresponden a las medianas del triángulo ABC. Tomamos el punto G, intersección entre dos de estos segmentos y verificamos que el punto G también esté en el otro segmento con lo cual comprobamos que: las medianas de un triángulo hiperbólico son concurrentes en un punto G que es el baricentro hiperbólico del triángulo. Con la herramienta Distancia hiperbólica calculamos, por ejemplo, las distancias entre D y G y entre C y G y verificamos que, G, el baricentro hiperbólico no es un punto de trisección de cada mediana. A partir de los puntos medios de los lados Ud. puede construir, el triángulo medial hiperbólico.

c. El ortocentro hiperbólico Una vez construido el triángulo hiperbólico ABC, con la herramienta perpendicular hiperbólica exterior trazamos las perpendiculares, desde cada vértice del triángulo, al correspondiente lado opuesto, las cuales corresponden a las alturas hiperbólicas del triángulo ABC. Tomamos el punto O, intersección entre dos de estas rectas y si hemos procedido cuidadosamente podemos observar y verificar que el punto O también está en la otra recta con lo cual podríamos pensar que: las alturas de un triángulo hiperbólico son concurrentes en un punto O que es el ortocentro hiperbólico del triángulo. Sin embargo, si Ud. mueve los vértices del triángulo, puede observar que la construcción no soporta la prueba del arrastre y que por tanto el ortocentro hiperbólico de un triángulo no está definido para todo triángulo hiperbólico, más aún las tres alturas del triángulo pueden llegar a ser paralelas.

Una vez construido el triángulo hiperbólico ABC, con la herramienta punto medio hiperbólico consideramos los puntos medios de los lados del triángulo D, E y F y por ellos trazamos las perpendiculares a los lados, para obtener, las mediatrices hiperbólicas del triángulo ABC.  Tomamos el punto O, intersección entre dos de estas rectas y si hemos procedido cuidadosamente podemos observar y verificar que el punto O también está en la otra recta con lo cual podríamos pensar que: las mediatrices de un triángulo hiperbólico son concurrentes en un punto O que es el circuncentro hiperbólico del triángulo. Sin embargo, si Ud. mueve los vértices del triángulo, puede observar que la construcción no soporta la prueba del arrastre y que por tanto el circuncentro hiperbólico de un triángulo no está definido para todo triángulo hiperbólico, más aún las tres mediatrices del triángulo pueden llegar a ser paralelas. ¿Existe un triángulo para el cual únicamente dos de las mediatrices se corten? ¿Existe un triángulo para el cual las tres mediatrices admitan una perpendicular común? En el caso de que el circuncentro hiperbólico del triángulo esté definido, es posible considerar la circunferencia de centro el circuncentro y que pase por uno de los vértices. Al mover los vértices del triángulo o utilizar la herramienta Relación, es posible verificar que los otros dos vértices pertenecen a esta circunferencia. Así el circuncentro hiperbólico es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, denominada circuncírculo hiperbólico. En geometría euclidiana, el circuncentro O, el ortocentro H y el baricentro G, son colineales y la recta a la cual pertenecen se denomina Recta de Euler, es posible verificar que en geometría hiperbólica no existe la recta de Euler, así como tampoco existe la circunferencia de los nueve puntos. ¿Existe un triángulo para el cual existe la recta de Euler?

En esta sección presentamos una configuración en la cual se visualiza el menú hiperbólico con el cual Ud. puede construir sus objetos hiperbólicos y verificar la validez o no de resultados euclidianos. Cómo lo hemos mencionado, la utilización de cualquier herramienta del menú hiperbólico requiere que inicialmente haga clic sobre la circunferencia de Poincaré.