GeoGebra

Wipe out. El meu raonament.

Autor:jvigata1

Raonament en veu alta.

Gauss... La suma dels N primers nombres naturals dona el mateix que el primer valor més l'últim, dividit entre dos. (Anècdota de Gauss de la suma dels primers cent nombres naturals). Si recordem la fórmula pels N primers termes de la successió aritmètica de diferència 1: (1+N)*N/2. Com que N és un nombre parell, el podem escriure N=2n, de manera que tenim (1+2n)*2n/2= (1+2n)·n Per calcular la mitjana, haurem de dividir entre el nombre de valors, o sigui 2n. Per tant ens queda (1+2n)/2, o sigui 1/2+n. Per això la mitjana sempre té 0,5 de part decimal. Si ho mirem per alguns casos particulars. N=2 Si comencem comptant el cas N=2, puc eliminar els dos elements, perquè en quedar una llista de dos nombres i eliminar-ne un, queda el cas trivial. I en els dos casos el resultat és enter. N=4 També podem agafar el primer i el darrer, però en cap cas, els dos valors centrals, ja que no dona un valor enter.
  • Si eliminem el 4,el que ens queda és 1,2,3, que clarament té mitjana 2.
  • Si eliminem l'1, el que ens queda és 2,3,4, que és la mateixa sèrie que abans amb un 1 sumat a cada terme, per tant, la mitjana serà 3.
N=6
  • Eliminem el darrer terme (6), ens queda una progressió aritmètica de diferència 1, amb 5 termes,amb una mitjana de 3, molt clara.
  • Si eliminem l'1, també ens queda una sèrie aritmètica idèntica a l'anterior, sumant 1 a cada element, per tant, la mitjana serà clarament 4. M'adono que traient l'1, obtinc l'enter superior a la mitjana inicial, i traient el 6, l'enter immediatament inferior a la mitjana inicial.
N=8 Clarament, eliminant el 8 tenim 4 de mitjana, i eliminant l'1 tenim 5 de mitjana (de forma anàloga als tres casos anteriors estudiats, N=2, N=4, N=6). Ara cal justificar per què no podem eliminar cap dels valors entre 2 i 7. Torna a passar que, si eliminem 1, la mitjana és l'enter immediatament superior a la mitjana inicial, i que en eliminar l'N, la mitjana és l'enter immediatament inferior a la mitjana inicial, per entendre'ns x+0,5 i x-0,5 respectivament. Cas general (N parell). Ara agafarem el cas que N sigui un nombre parell, N=2n. Això vol dir considerar la llista 1,2,3.... 2n-1,2n. Intento sistematitzar La seva mitjana és (1+2n)/2, és a dir, n+1/2, és a dir un nombre decimal (coma cinc, parlant vulgarment) Si eliminem el darrer terme (2n) ens queda 1,2,3,4,2n-1, i la suma és (1+2n-1)·(2n-1)/2= 2n·(2n-1)/2, o sigui n(2n-1), mentre que la seva mitjana serà n(2n-1)/(2n-1)=n. Com que eliminem el valor major del llistat, l'afectació es produirà en el sentit que serà la mínima mitjana possible. Si eliminem el primer element,és a dir l'1, ens queda 2,3,... 2n, és a dir, és la mateixa sèrie que abans, amb tots un 1 sumat a tots els termes, per tant la mitjana serà n+1. Com que eliminem el menor valor, l'afectació en la mitjana serà que el valor que ens sortirà serà el màxim possible per la mitjana Per tant, tots els valors se situen dins l'interval [n, n+1], i per tant no hi ha cap possibilitat que sigui un altre nombre enter. Què passa si N és senar? Fem directament el cas general Tots els nombres senars positius són de la forma N=2n+1, amb n= 0,1,2.... Aleshores en fer la mitjana de tots els valors ens trobem que la suma és (1+2n+1)·(2n+1)/2=(n+1)(2n+1) En fer la mitjana de tots els nombres surt n+1, entera.
  • Si eliminem l'1 de la llista, ens queda una llisa 2, 3,4,... 2n+1, que és el mateix que una llista 1,2,3..2n (tractada abans) amb un 1 afegit a tot arreu, de manera que el promig serà n+1/2+1= n+3/2
  • Si eliminem el 2n+1 de la llista, ens queda la llista 1,2,3,...2n, amb un promig de n+1/2.
Per tant, en tots els casos variarà en l'interval[n+1/2, n+3/2], però en aquest cas sols hi ha un nombre enter, que és n. Per tant l'únic valor que podem eliminar és n+1, que en coincidir amb la mitjana, no afecta en el càlcul. Així, en la llista 1,2,3,4,5, N=5, n=2, la mitjana val 3, i podem eliminar sols el 3. En la llista 1,2,3,4,5,6,7,8,9, N=9, n=4, i l'únic valor que podem eliminar és 5, que coincideix amb la mitjana. He usat el full de càlcul, però sols per a veure els casos amb n més petit, però després no en el raonament. En aquest cas em sap greu dir que l'ajut de GeoGebra ha estat menor.

Nous materials

Descobriu materials

Descobriu Temes