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Die Tangente als beste lineare Approximierung

Autor:
Andreas Lindner
Thema:
Analysis, Tangente

Die Tangente im Punkt P ist jene Gerade, die die die Funktion f am besten approximiert.

Um das zu verstehen, gehe folgendermaßen vor.
  • Verkleinere den Wert von h, indem du die Stelle x0+h gegen x0 verschiebst.
Du kannst erkennen, dass die Abweichung rt(h) zwischen der Tangente t und der Funktion f an der Stelle x0+h für gegen 0 geht. Das ist zu erwarten, da die Funktion und die Tangente an der Stelle x0 denselben Wert haben. Die Tangente im Punkt P hat die Darstellung

und damit folgt rechnerisch für rt(h)

Damit ist gezeigt, dass die Abweichung rt(h) gegen 0 geht. Aber nicht nur die Abweichung rt(h) geht gegen 0, sondern auch die relative Abweichung geht für gegen 0.

Wie verhält sich im Vergleich zur Tangente eine beliebige andere Gerade, die ebenfalls durch den Punkt P geht und die Steigung k hat?
  • Blende mit dem Kontrollkästchen die Gerade g durch den Punkt P ein.
Die Gerade g wird angegeben durch

Somit gilt

und damit folgt rechnerisch für rg(h)

Auch die Abweichung rg(h) zwischen der Geraden g und der Funktion f an der Stelle x0+h geht gegen 0. Aber die relative Abweichung geht für eine beliebige Gerade für nicht gegen 0.

Die Tangente ist die einzige Gerade durch P, bei der auch die relative Abweichung gegen 0 geht.

Aufgabe

  • Verkleinere den Wert von h, indem du die Stelle x0+h gegen x0 verschiebst.
  • Beobachte, wie sich die Abweichungen und die relativen Abweichungen bei der Veränderung von h verhalten.

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