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Relación entre segmentos en un triángulo rectángulo

En el △ ABC, rectángulo en C, se toman dos puntos, E en AC y F en BC, a una distancia p de A y q de B respectivamente. Determinar en función de p y q la longitud s del segmento que une el punto medio de EF con el punto medio de la hipotenusa.
A partir de una pista aportada por el_manco en el "El Rincón Matemático"