Pendule pesant
Une masse est attachée à une tige légère de
longueur fixe tournant autour d'un axe. Le système a un
unique degré de liberté, l'angle qu'il fait avec la
verticale. Les forces exercées sur le mobile sont: la tension dans
la tige (le long de la tige), la pesanteur ( constante et vers le
bas) et le frottement (proportionnel et contraire à la vitesse ). Le
fait que la tige est rigide nous indique que la tension annule la
composante radiale de la force et que seule compte sa composante
angulaire, projection du poids perpendiculairement à la tige,
donnant finalement l'équation:
Cette équation n'est pas linéaire, notez la fonction , ce qui
fait qu'elle est difficile à résoudre. On peut cependant, en prenant
un développement limité pour de petits angles, linéariser
cette équation.
Nous visualisons dans l'espace des phases (angle, vitesse) le champ de vecteurs que doit suivre le pendule. Si on lance le pendule assez fort, il va faire plusieurs tours avant que le frottement ne contraigne les oscillations à s'amenuiser. Décrivons la courbe rouge: partant d'une vitesse quasi nulle (pendule quasi en équilibre instable), l'angle négatif -π augmente, gagnant de la vitesse vers le bas, jusqu'à un angle nul et une vitesse maximale, puis la vitesse diminue, l'angle augment encore en ralentissant, jusqu'à une amplitude de battement maximale, une vitesse qui s'annule puis devient négative, le pendule retombe, jusqu'à une vitesse négative maximale pour un angle nul, et il remonte de l'autre côté. Le frottement a fait son office et l'oscillation est de moindre amplitude, le pendule est piégé dans un bassin autour d'un point d'équilibre (un angle multiple de 2π, ici 0).
Vous pouvez modifier le point de départ, le coefficient de frottement µ et le pas de la discrétisation. Observez deux intégrations numériques, en bleu la méthode d'Euler, en rouge la méthode de Runge-Kutta.