Introduzione
Ci poniamo il seguente problema di costruzione con riga e compasso.
Costruire un quadrilatero ciclico convesso, conoscendo le lunghezze dei suoi lati in un ordine dato.
Naturalmente si suppone l’esistenza del quadrilatero convesso e questo si verifica quando la somma delle lunghezze di tre lati è sempre maggiore del quarto lato.
Si inizia con un approccio sperimentale.
Si costruisce un quadrilatero ABCD i cui lati hanno le lunghezze assegnate. Una tale figura geometrica ha 4 gradi di libertà: il punto A è libero di muoversi, il punto B si muove sulla circonferenza di centro A e raggio a, il punto C sulla circonferenza di centro B e raggio b e il punto D si fissa su una delle intersezioni tra la circonferenza di centro C e raggio c e quella di centro A e raggio d. Quindi i gradi di libertà sono 2 + 1 + 1 + 0 = 4. Muovendo i punti B e C sulle circonferenze a cui sono vincolati si modifica il quadrilatero. Per individuare i quadrilateri ciclici si costruisce la circonferenza passante per A, B e C e si spostano i punti B e C in modo tale che il vertice D appartenga alla circonferenza.
Naturalmente quanto ottenuto rappresenta non la figura con tutte le proprietà richieste ma un disegno di essa che non resiste al movimento non mantenendo le proprietà che la devono caratterizzare.
Si può notare sperimentalmente che il quadrilatero ha area massima quando è ciclico.
Il quadrilatero che ha i lati di lunghezza assegnata, è convesso e ha tutti i vertici su una circonferenza dovrà avere 3 gradi di libertà: 2 per A, 1 per B e 0 per C e D.
Nelle pagine seguenti vengono proposte alcune costruzioni.