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Schnittkurven Kugel-Quadrik

Auteur:Walter Füchte
Schneidet man die Riemannsche Zahlenkugel mit irgendeiner zweiten Quadrik, so erhält man Schnittkurven, die wir möbiusgeometrisch *su) klassifizieren:
  • Die Schnittkurve ist 2-teilig. In dem Quadrikbüschel aus Kugel und Quadrik liegen 4 Kegel, deren Kegelspitzen ein Polar-Tetraeder der Kugel bilden. Die Kegelspitzen können unendlich fern sein, die zugehörigen Kegel erscheinen dann als Zylinder. Die Schnittkurve besitzt 4 paarweise orthogonale Symmetrie-Kreise, von denen einer imaginär ist: die zugehörige Kegelspitze liegt innerhalb der Kugel. Im Ausartungsfalle besteht die Schnittkurve aus zwei Kreisen. In dem Quadrikbüschel liegen dann Ebenen-Paare. Die Schnittkurve, eine bizirkulare Quartik, besitzt 4 konzyklische Brennpunkte, und sie ist einer der konfokalen Quartiken mit diesen Brennpunkten.
  • Die Schnittkurve ist 1-teilig. Im Quadrikbüschel liegen nur zwei reelle Kegel, die Quartik besitzt nur zwei, zueinander orthogonale Symmetrie-Kreise. Die Kurven besitzen ebenfalls 4 Brennpunkte, diese liegen symmetrisch auf den beiden Symmetrie-Kreisen, dh. die Spiegelungen an diesen Kreisen läßt jeweils 2 Brennpunkte fest und vertauscht die anderen beiden.
  • Die Schnittkurve besitzt einen Doppelpunkt auf der Kugel. Im Quadrikbüschel liegt ein Kegel, der diesen Doppelpunkt als Spitze besitzt. Wählt man diesen als für die stereographische Projektion, so erweist sich die Kurve in der Gaussschen Zahlenebene als Kegelschnitt mit 2 Brennpunkten und als doppelt zählendem fernen Brennpunkt: Ellipse oder Hyperbel, oder mit einem Brennpunkt und als 3-fach zählendem fernen Brennpunkt: Parabel.
Projiziert man eine solche Schnittkurve stereographisch in die GAUSSsche Zahlenebene , so ergibt sich eine bizirkulare Quartik, das ist eine Kurve 4.-ter Ordnung mit einer Gleichung des Typs
  • mit
Zu diesen Kurven gehören die Produkte aus 2 Kreisgleichungen ( bizirkular!), CARTESISCHE Ovale - das sind bizirkulare Quartiken auf welchen liegt, CASSINI-Kurven (die Determinante der zugehörigen HERMITEschen Abbildung verschwindet!), und last not least gehören die Kegelschnitte und ihre Bilder unter MÖBIUS-Transformationen dazu! Nicht unerwähnt bleibe hier, dass diese Kurven stets in einer konfokalen Kurvenschar auftreten - sie lassen sich als die Kurven und einer geeigneten komplex-differenzierbaren Funktion beschreiben. Charakteristisch für diese Funkionen ist, dass sie einer elliptischen Differentialgleichung des Typs
  • genügen; die komplexen Punkte sind die Brennpunkte!
Die Begündung soll hier nur angedeutet werden: Die Kugel ist im 3-dimenionalen projektiven Raum, dem ein 4-dimensionaler reeller Vektorraum zugrunde liegt, eine Quadrik der Signatur (Möbius-Bilinearform). Kreise in der Möbiusebene sind Schnitte der Kugel mit Ebenen. Eine zweite Quadrik ist durch eine zweite symmetrische Bilinearform gegeben, dazu gehört eine bezüglich der Möbiusform symmetrische selbst-adjungierte Abbildung (4+3+2+1 verschiedene Koeffizienten!). Für einem Eigenraum dieser Abbildung ist auch der bezüglich der Möbiusform orthogonale Raum ein Eigenraum. Hieraus ergibt sich die obige Klassifikation: - 4 paarweise orthogonale Eigenvektoren, - 2 orthogonale Eigenvektoren und ein dazu orthogonaler Eigenraum ohne reelle Eigenvektoren, - oder mindestens ein isotroper Eigenvektor, also ein Fixpunkt auf der Kugel. *) möbiusgeometrisch bedeutet: es interessieren zunächst nur Punkte, Kreise und ihre Beziehungen untereinander; das sind: Winkel zwischen Kreisen, insbesondere Orthogonalität.

Dieses Arbeitblatt ist Teil des geogebra-books Kugel-Kegel-Schnitte (August 2018 Autor: W.F.). Siehe auch das geogebra-book Kegelschnitt-Werkzeuge.

Genauer werden die Zusammenhänge im geToolbar Imagegebra-book Möbiusebene untersucht!

2-teilige --------- oder --------- 1-teilige Schnittkurven in der Projektion

Betrachtet man die Quadrik-Schnitte in den Symmetrie-Ebenen, also in den Polarebenen der Kegelspitzen, so kann man die Klassifizierung wie folgt verfeinern:
  • Zweiteilig: es gibt eine Symmetrie-Ebene, in welcher der Symmetriekreis von der Schnittkurve in 4 verschiedenen Punkten geschnitten wird. Der Symmetriekreis und der Kegelschnitt in der Symmetrieebene besitzen 4 gemeinsame Tangenten. Die Tangenten-Berührpunkte sind die Brennpunkte der Schnittkurve. Die Schar der Quartiken mit denselben Brennpunkten erzeugt auf der Zahlenkugel und damit in der Gaussschen Zahlenebene eine konfokale Schar von bizirkularen Quartiken. Man bewege den Berührpunkt des Kegelschnitts auf der gemeinsamen Tangente. Eingezeichnet sind die drei Leit-Kreise der Schnittkurve. Bemerkung: Geraden in der Symmetrie-Ebene sind Kreise, die orthogonal zum Symmetriekreis liegen.
  • Einteilig mit 4 verschiedenen Brennpunkten: zwei liegen auf dem Symmetriekreis, die beiden anderen fallen in der Projektion zusammen. Auch hier gibt es eine konfokale Schar von Schnittkurven mit den angezeigten Brennpunkten. Es gibt zwei Leitkreise zu einem vorgegebenen Brennpunkt, der zweite Leitkreis zeigt sich bei der Projektion auf die 2. Symmetrie-Ebene.
  • Zusammenfallende Brennpunkte: von diesem aus stereographisch projiziert erhält man einen Kegelschnitt. Im Applet unten sind die Situationen mit zusammenfallenden Brennpunkten als Grenzfälle angezeigt.
    • Zwei einfache und ein doppelt-zählender Brennpunkt. Es gibt 2 orthogonale Symmetriekreise, und zu jedem einfachen Brennpunkt gibt es zwei Leitkreise. Ist der doppelt-gezählte Brennpunkt , so ist einer der beiden Leitkreise die Leitgerade des Kegelschnitts. Die Brenngeraden sollen andeuten, dass die Brennlinien, also die Kreise, die durch Brennpunktpaare und einen Kurvenpunkt gehen, Winkelhalbierende der Schnittkurve sind: die Tangente halbiert den Winkel zwischen den Brennlinien. Vom 2-fach zählenden Brennpunkt stereographisch projiziert erhält man eine Ellipse oder eine Hyperbel.
    • Ein einfacher und ein dreifach-zählender Brennpunkt. Es gibt nur einen Symmetriekreis, und nur einen Leitkreis. Stereographisch vom 3-fach zählenden Brennpunkt projiziert, erhält man eine Parabel.

Kegelschnitte: Hyperbel/Ellipse -------------------- oder Parabel

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