Mediatriz e circuncentro
Mediatrizes e Circuncentro
Por definição denomina-se mediatriz de um segmento de reta, a reta perpendicular ao segmento que
passa pelo seu ponto médio. Desta forma, todo triângulo possui três mediatrizes.
Como o auxílio do GeoGebra, vamos construir as mediatrizes do ∆ABC de duas formas. Para isso, iremos construir primeiramente o triângulo ABC.
Construa o ∆ABC.
Com o triângulo já construído, precisamos encontrar o ponto médio de seus lados. Para isso vamos utilizar a ferramenta “circunferência dados centro e raio”.
Com a ferramenta selecionada dê um clique sobre o ponto A e na janela que abrir marque raio= c/2.
De forma análoga, repita o mesmo processo, mas agora o centro da circunferência deve estar em no ponto B.
Definimos o raio como c/2, porque isso nos garante que as circunferências se interceptam exatamente em um mesmo ponto, que é o ponto médio do segmento, já que pegamos a metade do lado AB em ambas as circunferências.
Com a ferramenta “interseção de dois objetos” clique as circunferências criadas.
Como resultado, obtemos um novo ponto marcando a intersecção dos dois objetos.
Pronto! Já obtemos o ponto médio referente ao lado AB, agora precisamos construir os demais. Mas antes disso vamos esconder as circunferências d e e,para que nossa janela de visualização não fique visualmente “poluída”. Para isso dê um clique o botão direito do mouse sobre o objeto que deseja esconder e marque a opção “exibir objeto”.
Observe que na janela de visualização não vemos mais a circunferência e, mas ainda podemos vê-la na janela de álgebra, o que significa que o objeto não foi excluído. Para voltarmos a vê-la basta dar um clique com o botão esquerdo do mouse no objeto da janela algébrica como mostra a figura.
Da mesma forma que escondemos a circunferência e, esconda d.
Desta forma, ficamos com a janela de visualização mais “limpa”.
Da mesma forma que encontramos o ponto médio de AB, encontre o ponto médio de BC e AC, mas tome cuidado pois agora o raio terá medida a/2 e b/2 respectivamente.
Bom, já temos os pontos médios dos lados do ∆ABC, agora precisamos das retas perpendiculares aos lados que passem por seu ponto médio. Para isso usaremos primeiramente a ferramenta “compasso”.
Com a ferramenta selecionada, clique sobre o lado AB (segmento c) e depois fixe o centro da circunferência ponto A clicando sobre ele.
Com a mesma ferramenta e de forma análoga, dê um clique sobre o lado AB e posteriormente sobre o ponto B.
Com a ferramenta “interseção de dois objetos” marque a interseção dos dois novos objetos criados.
Observe que dois novos pontos são criados. Isso ocorre porque as circunferências se interceptam em dois lugares.
Com a ferramenta “reta paralela” construa uma reta paralela ao segmento c, passando H (pontos de interseção das novas circunferências construídas).
Agora com a ferramenta “reta definida por dois pontos” construa uma reta que passe pelo ponto médio do lado AB e H.
A reta paralela ao lado AB já garante que a nova reta criada é perpendicular ao segmento pela propriedade
do perpendicularísmo, mas podemos temos ter ainda mais segurança se usarmos a ferramenta “ângulo” para encontramos o ângulo formado pela reta paralela e a perpendicular. Por definição ele precisa ser 90º.
Pronto! Garantimos que a reta j é realmente perpendicular ao lado AB, portanto j é a mediatriz referente ao lado AB.
Antes encontramos as outras mediatrizes é bom escondermos os objetos que não iremos mais usar.
Da mesma forma que encontramos a mediatriz do lado AB, construa as dos demais lados.
Dessa forma encontramos todas as mediatrizes do ∆ABC.
A partir das mediatrizes podemos encontrar o circuncentro do triângulo ABC, pois por definição “o
ponto de interseção das mediatrizes dos lados de um triângulo é o circuncentro do triângulo” e, é também o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
Assim, vamos construir o circuncentro do ∆ABC.
Com a ferramenta “interseção de dois objetos” clique em duas das mediatrizes do ∆ABC.
Observe que a cada duas mediatrizes escolhidas, teremos um novo ponto sempre no mesmo lugar.
Vamos verificar agora se existe uma circunferência circunscrita ao ∆ABC com centro O. Com a ferramenta “círculo definido pelo Centro e um dos seus Pontos” marque o centro O e um dos vértices do ∆ABC.
Outra forma de se fazer isso é usando as ferramentas já prontas do GeoGebra.
Abra um novo documento.
Construa um novo triângulo ABC.
Com a ferramenta “mediatriz” selecionada, dê um clique no ponto A e no ponto B.
De forma análoga use a ferramenta “mediatriz” para encontrar as mediatrizes dos lados BC e AC.
Com as mediatrizes encontras só precisamos marcar sua intercessão para obtermos o circuncentro.
Com a ferramenta “interseção de dois objetos” marque o ponto de interseção das mediatrizes.
Vamos verificar agora se existe uma circunferência circunscrita ao ∆ABC com centro E.
Com a ferramenta “círculo definido pelo Centro e um dos seus Pontos” marque o centro E e um dos vértices do ∆ABC.
Pronto! Terminamos nossa construção. Consegue fazer?
Podemos notar que a ferramenta “mediatriz” acelerou bastante o processo da nossa construção, mas não podemos nos esquecer que ao utilizá-la deixamos implícito várias propriedades geométricas, como ponto médio e perpendicularísmo, por exemplo.
Por isso, é interessante mostrarmos a nossos alunos primeiramente como fazemos a construção sem usar esta ferramenta, para que depois quando ele usá-la saiba claramente o processo percorrido pelo software.