IL VOLUME DELLA SFERA QUAL E'?

2) Un piano k, a distanza z dal piano xy, interseca il cono e la scodella. L'intersezione tra il piano k e il cono è

L'intersezione tra il piano e la scodella è

3) L'intersezione tra il piano k e il con è un cerchio di centro K e raggio KQ. I due triangoli VKQ e VHP sono rettangoli e tra loro

Inoltre, dato che VH = r, HP = r, il triangolo VHP è

Quindi il triangolo rettangolo VKQ è isoscele e vale l'uguaglianza KQ = VK. D'altra parte VK è uguale a

Si conclude che l'intersezione del piano k con il cono, che è un cerchio di raggio KQ, ha area

4) L'intersezione del piano k con la scodella è una corona circolare, delimitata da una circonferenza esterna di raggio FD e una circonferenza interna di raggio FE. 5) Il quadrilatero FDGB è un

quindi il raggio della circonferenza esterna della corona circolare è FD = BG ed è uguale a

6) L'ipotenusa GD del triangolo rettangolo GFD è uguale a

Il cateto GF del triangolo rettangolo GFD è uguale a

Il cateto FD del triangolo rettangolo GFD (e raggio della circonferenza interna che delimita la corona circolare) è dato da

7) L'area della corona circolare risulta quindi uguale a

8) Le due aree a₁ e a₂ sono quindi

e dato che questo risultato non dipende dal valore di z, è possibile affermare che le intersezioni del cono e della scodella con un qualunque piano parallelo al piano xy hanno uguale

quindi, per il principio di Cavalieri, i due solidi (cono e scodella) hanno uguale

9) Il volume V di una sfera di raggio r è doppio del volume della semisfera, uguale alla differenza tra il volume del cilindro e il volume della scodella, quindi alla differenza tra il volume V' del cilindro e il volume V" del cono (equivalente alla scodella): V = 2(V' + V"). 10) Il volume del cilindro, che può essere considerato un prisma a base circolare) è dato da

11) Il volume del cono (considerato una piramide a base circolare) è dato da