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IL VOLUME DELLA SFERA QUAL E'?

1) Nel disegno sono raffigurati: # un cono circolare retto avente raggio di base HP = r ed altezza VH = r # un solido detto scodella di Galileo dato dalla regione di spazio delimitata
  • da un cilindro circolare retto avente raggio di base AC = BG = r ed altezza CG = r
  • da una semisfera di centro G e raggio GC = r
Il cono e il cilindro sono appoggiati sullo stesso piano (piano xy).

2) Un piano k, a distanza z dal piano xy, interseca il cono e la scodella. L'intersezione tra il piano k e il cono è

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L'intersezione tra il piano e la scodella è

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CALCOLIAMO LE AREE DELLE INTERSEZIONI TRA IL PIANO k E I DUE SOLIDI (IL CONO E LA SCODELLA)

3) L'intersezione tra il piano k e il con è un cerchio di centro K e raggio KQ. I due triangoli VKQ e VHP sono rettangoli e tra loro

Inoltre, dato che VH = r, HP = r, il triangolo VHP è

Quindi il triangolo rettangolo VKQ è isoscele e vale l'uguaglianza KQ = VK. D'altra parte VK è uguale a

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Si conclude che l'intersezione del piano k con il cono, che è un cerchio di raggio KQ, ha area

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4) L'intersezione del piano k con la scodella è una corona circolare, delimitata da una circonferenza esterna di raggio FD e una circonferenza interna di raggio FE. 5) Il quadrilatero FDGB è un

quindi il raggio della circonferenza esterna della corona circolare è FD = BG ed è uguale a

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6) L'ipotenusa GD del triangolo rettangolo GFD è uguale a

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Il cateto GF del triangolo rettangolo GFD è uguale a

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Il cateto FD del triangolo rettangolo GFD (e raggio della circonferenza interna che delimita la corona circolare) è dato da

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7) L'area della corona circolare risulta quindi uguale a

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8) Le due aree a1 e a2 sono quindi

e dato che questo risultato non dipende dal valore di z, è possibile affermare che le intersezioni del cono e della scodella con un qualunque piano parallelo al piano xy hanno uguale

quindi, per il principio di Cavalieri, i due solidi (cono e scodella) hanno uguale

9) Il volume V di una sfera di raggio r è doppio del volume della semisfera, uguale alla differenza tra il volume del cilindro e il volume della scodella, quindi alla differenza tra il volume V' del cilindro e il volume V" del cono (equivalente alla scodella): V = 2(V' + V"). 10) Il volume del cilindro, che può essere considerato un prisma a base circolare) è dato da

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11) Il volume del cono (considerato una piramide a base circolare) è dato da

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12) Sostituendo i risultati dei punti 10), 11) nell'uguaglianza 9): V = 2(V' + V") si ottiene per il volume della sfera il noto risultato V. esame 2009 - s.ord. - quesito 9