Комплекси Броеви
- Author:
- Владимир Гелевски
Симболот i е број чиј квадрат е -1, т.е. i² = -1
Бројот i се вика имагинарна единица. Броевите од обликот a + bi, каде што a,b ∊ R, а i-имагинарна единица, се викаат комплексни броеви.
Множеството од комплексните броеви се означува со C = { a+bi | a, b ∈ R }.
Записот a+bi, се вика алгебарска или стандардна форма на комплексниот број.
Бројот a се вика реален дел, а b – имагинарен дел на комплексниот број, т.е.
a = Re(Z), b = Im(Z), z = a + bi.
За комплексниот број z = a + bi усвојуваме:
– ако b=0, тогаш а + bi = a е реален број;
– ако b≠0, тогаш a + bi се вика имагинарен (нереален) број;
– ако b≠0 и a = 0, тогаш a+bi се вика чисто имагинарен број.
За комплексните броеви а + bi и c + di велиме дека се еднакви ако реалните делови им се еднакви и имагинарните делови им се еднакви, т.е.
a + bi = c + di <=>
a=c ⋀ b=d
1. ОПЕРАЦИИ СО КОМПЛЕКСНИ БРОЕВИ
1.1. ЗБИР
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Пример: (2 + 4i) + (2 – 3i) = 2 + 4i + 2 – 3i = 4 + i
_________________________________________
1.2. ПРОИЗВОД
(a + bi)·(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Пример:
(2 – 3i)·(5 + 2i) = 10 – 15i + 4i – 6i² =
= 10 – 15i + 4i -6·(-1) = 10 – 15i + 4i +6 = 16 -11i
________________________________________
1.3. РАЗЛИКА
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Комплексниот број -z = -а – bi е спротивен број нa бројот z = а + bi, бидејќи (а + bi) + ( -а – bi) = 0.
Пример:
(2 + 4i) – (6 – i) = 2 + 4i – 6 + i = -4 + 5ј
_______________________________________
1.4. КОЛИЧНИК
Комплексниот број z = а – bi е конјугирано комплексен број на бројот z = a + bi. За конјугирано комплексните броеви z и ͞z важат следните својства:
За количникот на комплексните броеви a + bi и c + di го користиме правилото:
До количникот на два комплексни броја може да се дојде и преку следнава постапка:
_____________________________________
1.5. СТЕПЕНУВАЊЕ НА КОМПЛЕКСЕН БРОЈ
Степенувањето на комплексен број z го дефинираме како и степенувањето на реален број, т.е.
z¹ = z
zⁿ⁺¹ = zⁿ∙z
z⁰=1
z⁻ⁿ = (z⁻¹)ⁿ
За степените на имагинарната единица i важи:
iⁿ ∈ { 1 , -1 , i , -i } , значи
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1
Пример:
i³⁹⁷=i⁴͘͘͘͘͘ ⁹⁷⁺³ =i³ =-i
2. Модул на комплексен број
Модул или апсолутна вредност на комплексен број z = a + bi се вика реалниот негативен број и се означува со |Z|
Ако комплексниот број a + bi е реален број, т.е. ако b=0, тогаш:
Бидејќи a² + b² = (a + bi)·(a – bi), точно е равенството:
͞z ∙ z = |z|²
За комплексните броеви z₁ и z₂ важи:
3. КОМПЛЕКСНИТЕ БРОЕВИ КАКО ПОДРЕДЕНИ ДВОЈКИ БРОЕВИ
Подредената двојка на реални броеви z =(a , b)= a+bi е комплексен број, т.е.
C = { (a,b) | a,b ∊ R }
Операциите собирање, одземање, множење и делење се изведуваат согласно следните правила:
За комплексните броеви (a , b) и (c , d) важи:
(a , b) = (c , d) <=> a = c ⋀ b = d
Комплексниот број (0 , 0) се вика комплексна нула.
За комплексниот број имагинарна единица, т.е. i = (0 , 1). 3атоа секој комплексен број z = a + bi може да се запише и на следниов начин:
z = a + bi = (a , b) = (a , 0) + (b , 0)·(0 , 1)
За количникот на комплексните броеви a + bi и c + di го користиме правилото:
До количникот на два комплексни броја може да се дојде и преку следнава постапка:
_____________________________________
1.5. СТЕПЕНУВАЊЕ НА КОМПЛЕКСЕН БРОЈ
Степенувањето на комплексен број z го дефинираме како и степенувањето на реален број, т.е.
z¹ = z
zⁿ⁺¹ = zⁿ∙z
z⁰=1
z⁻ⁿ = (z⁻¹)ⁿ
За степените на имагинарната единица i важи:
iⁿ ∈ { 1 , -1 , i , -i } , значи
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1
Пример:
i³⁹⁷=i⁴͘͘͘͘͘ ⁹⁷⁺³ =i³ =-i
2. Модул на комплексен број
Модул или апсолутна вредност на комплексен број z = a + bi се вика реалниот негативен број и се означува со |Z|
Ако комплексниот број a + bi е реален број, т.е. ако b=0, тогаш:
Бидејќи a² + b² = (a + bi)·(a – bi), точно е равенството:
͞z ∙ z = |z|²
За комплексните броеви z₁ и z₂ важи:
3. КОМПЛЕКСНИТЕ БРОЕВИ КАКО ПОДРЕДЕНИ ДВОЈКИ БРОЕВИ
Подредената двојка на реални броеви z =(a , b)= a+bi е комплексен број, т.е.
C = { (a,b) | a,b ∊ R }
Операциите собирање, одземање, множење и делење се изведуваат согласно следните правила:
За комплексните броеви (a , b) и (c , d) важи:
(a , b) = (c , d) <=> a = c ⋀ b = d
Комплексниот број (0 , 0) се вика комплексна нула.
За комплексниот број имагинарна единица, т.е. i = (0 , 1). 3атоа секој комплексен број z = a + bi може да се запише и на следниов начин:
z = a + bi = (a , b) = (a , 0) + (b , 0)·(0 , 1)