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Somme de nombres entiers

Auteur :
Jean Roussie
Savoir calculer n'est pas seulement une affaire de technique. Un peu de réflexion peut permettre parfois de réaliser très vite de tête des calculs qui pourraient être très long à réaliser à la main, et parfois même à l'aide d'une machine à calculer. Prenons par exemple la somme de nombres entiers qui se suivent. Et pour faire simple commençons à 1. Ainsi :
  1. (1 terme)
  2. (2 termes)
  3. (3 termes)
Et ainsi de suite.

Combien fait cette somme si elle comprend 4 termes ?

Et si elle comprend 5 termes ?

Tu serais sans aucun doute d'accord avec moi si j'affirmais que plus la somme comprend de termes, plus elle est longue à calculer. Pourtant, en calculant de tête, je peux te dire que :
  • Avec 10 termes :
  • Avec 20 termes :
  • Avec 100 termes :
  • Avec 200 termes : 
  • Avec 1000 termes :
Et à l'aide de la calculette, en 5 secondes, que :
  • Avec 12345 termes :
  • Avec 34597 termes :
Et le pire, c'est que tu es capable de comprendre comment je fais et d'y arriver ! Pour cela nous allons utiliser le tableur ci-dessous :

La ligne 1 est une ligne d'en-tête de même que la colonne A. La deuxième ligne comprends la série croissante des entiers de 1 à 10 que nous voulons additionner. Pour cela nous utiliserons la fonction "Somme" dans la cellule L2 où tu vas entrer =Somme(B2:K2).

  • B2:K2 : L'adresse de deux cellules séparées par ":" signifie toutes les cellules comprises entre celles-ci.
Tu vas mettre dans la troisième ligne la série décroissante des entiers de 10 à 1. Tu vas ensuite en faire calculer la somme par le tableur dans la cellule L3, toujours à l'aide de la fonction "Somme" en choisissant correctement la plage de cellules concernées. Le résultat que tu obtiens dans la cellule L3 te semble-t-il normal ?

C'est maintenant que les choses vont devenir interessantes :

  • Fais calculer dans la cellule B4 la somme des 2 cellules situées au dessus.
  • Fais calculer dans la cellule C4 la somme des 2 cellules situées au dessus.
  • Répète l'opération pour les cellules allant de D4 à K4.
Que remarques-tu ? Cela te parait-il normal ?

Dans les cellules de la colonne L nous faisons la somme des cellules situées à leur gauche sur la même ligne. Entre la formule pour cela dans la cellule L4. Explique comment tu pouvais facilement calculer ce résultat par une simple multiplication.

Observe les cellules et explique comment on peut calculer facilement la somme recherchée qui est en L2 et L3 à partir de la cellule L4.

Reproduis l'expérience décrite ci-dessus pour vérifier à l'aide du tableau ci-dessous que la somme des 14 premiers nombres entiers est égale à :

Décris le calcul simple que j'ai effectué pour calculer la somme des 100 premiers nombres entiers.