Función inversa

Función inversa Sea una función uno a uno. Se define la función inversa de f(x) a la función tal que el dominio de es el rango de f(x) y el rango de es el dominio de f(x). Así por ejemplo, si f(x) = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)} se tiene que: Dominio de , rango de . Entonces, dominio de y rango de Propiedad de la función inversa Si es la función inversa de , se cumple que la composición de las dos funciones es la función identidad f(x) = x: y Ejemplo: Comprobar si la función es la función inversa de : Sí son funciones inversas. La recta y = x es bisectriz del primer y tercer cuadrante del plano y es el eje de simetría de f(x) y su inversa. Esto significa que todo punto de f(x) tiene su correspondiente punto opuesto a la recta y = x. Esta propiedad se puede utilizar para graficar la función inversa de una función dada. A continuación se presentan varios applets en los que se muestran algunos ejemplos de funciones con su respectiva función inversa. Nótese que el dominio y el rango se intercambian. En todos los applets se muestra la función identidad para verificar la propiedad de la función inversa: Active el punto en f(x) y su correspondiente en la función inversa. Verifique las coordenadas de los dos puntos. La ubicación del punto A se puede modificar digitando la abcisa en la casilla de entrada o arrastrando el punto sobre la gráfica de f(x). Applet 1): Funciones de gráfica lineal, f(x) = m x + b Se puede obtener función constante (m = 0), función lineal (b = 0 y m 0) o función afín (m 0, b 0). Las función lineal y la función afín por ser uno a uno tienen función inversa: la función inversa de una lineal es otra función lineal y la inversa de una afín es otra afín. En cambio, la función constante no tiene inversa porque no es uno a uno y no se puede restringir su dominio. Ejercicio: Calcule la función inversa de f(x) = 3x + 2 Normalmente se utilizan 3 pasos: 1. Se escribe la ecuación como y = 3x + 2 2. Se despeja x en términos de y: 3. Se intercambian las variables x y y: Verifique en el applet la ecuación de la función inversa.
Applet 2): Función cuadrática, f(x) = a x2 + b x + c Dado que la función cuadrática no es una función uno a uno, es necesario restringir su dominio tomando por separado las dos ramas de la parábola: rama derecha (los valores de x mayores o iguales a la abcisa del vértice de la parábola) y la rama izquierda (los valores de x menores o iguales a la abcisa del vértice de la parábola). Solamente con fines ilustrativos se muestra la gráfica completa de la parábola. Ejercicio: Calcule la función inversa de: se resuelve la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general, donde a = 3, b = -2, c = 1 - y: y Reemplazando las variables: y Por lo tanto se obtienen dos funciones inversas (una por cada rama de la parábola): y Verifique las funciones inversas en los 2 applets siguientes.
Applet 3): Función cúbica incompleta, f(x) = a x3 + d La función cúbica es uno a uno. Por lo tanto no es necesario restringir el dominio. Ejercicio: Calcule la función inversa de : Intercambiando variables, Verifique en el applet la ecuación de la función inversa.
Applet 4): Función exponencial, f(x) = ax siendo a > 0 y a 1: La función también es uno a uno. Ejercicio: Calcule la función inversa de : Por lo tanto, : la función logarítmica es la función inversa de la exponencial.
Applet 5): Función logarítmica, f(x) = ln(x): Como se sabe ln(x) es el logaritmo natural de x cuya base es el número de Euler (e): . Así mismo se sabe que log(x) es el logaritmo decimal de x cuya base es 10: La función logaritmo natural es uno a uno y su función inversa es . La función logaritmo decimal también es uno a uno y su función inversa es Ejercicios: Si se sabe que
Applet 6): Funciones trigonométricas: 6.a): Funciones seno y coseno 6.b): Funciones tangente y cotangente 6.c): Funciones secante y cosecante La funciones trigonométricas son funciones periódicas y por lo tanto no son funciones uno a uno. Debido a esto, es necesario limitar el dominio de cada una. Comúnmente se utiliza el prefijo arc para denotar las funciones inversas de las funciones trigonométricas. Intervalo [] Intervalo [] Intervalo () Intervalo() Intervalo [) (] Intervalo [) (] En los tres applets siguientes, si se activa el Dominio y Rango de una función y de su inversa se muestra una tabla en la que aparecen el dominio y rango de las dos funciones. Además de eso, se muestran las coordenadas de los puntos A y su correspondiente opuesto, A'. La abcisa del punto A es el valor de x en radianes. Se puede modificar en la casilla de entrada. Así por ejemplo, en la función sen(x): A = (1.57, 1) y A' = (1, 1.57) Esto significa que sen(1.57) = 1 y arcsen(1) = 1.57 radianes. Recuerde: el punto A se puede desplazar sobre la gráfica!