Teorema de Miquel - Formulación alternativa

Se tienen tres circunferencias c_A, c_B y c_C concurrentes en un punto P, y que se cortan dos a dos en los puntos D, E y F. Si por un punto A de c_A se traza una recta que pasa por el punto F de su intersección con c_B, distinto de P, sea B el otro punto de intersección con c_B. Igualmente, sea C el otro punto de intersección de c_C con la recta que pasa por B y el punto, distinto de P, en que se cortan c_B y c_C. Entonces los puntos A, E y C están alineados.

La otra formulación es: "Dados tres puntos uno en cada lado de un triángulo, o en sus prolongaciones, las tres circunferencias que pasan por un vértice del triángulo y los dos puntos en los lados adyacentes, concurren en un punto". La demostración es inmediata. Basta unir el punto P con los puntos D, E y F para formar tres cuadriláteros cíclicos, cuyos ángulos opuestos son suplementarios. Entonces:

∠AEP y ∠AFP, ∠BFP y ∠BDP, ∠CDP y ∠CEP son suplementarios por ser opuestos en un cuadrilátero cíclico

∠AFP y ∠BFP, ∠BDP y ∠CDP son suplementarios por ser adyacentes

Cerrando el ciclo, se deduce que ∠CEP y ∠AEP también son suplementarios y por tanto, A, E y C están alineados. El triángulo △LMN de los centros es semejante al △ABC, pues en cada circunferencia sus ángulos son la mitad del central que abarca el mismo arco que los del △ABC. Activa la animación automática del punto A con el control de la esquina inferior izquierda o desplazarlo con el ratón. ¿Para qué posición del punto A los triángulos están igualmente orientados? ¿Como son sus tamaños relativos entonces? ¿Es entonces cuando como alcanza el △ABC su área máxima? (considerar los triángulos formados por P y cada par de vértices) ¿Cuando tienen ambos triángulos el mismo tamaño?

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