Stab und Ecke

Man verschiebe den Punkt B und beobachte, ob der Stab um die Ecke geführt werden kann. Experimentiere mit verschiedenen Stablängen durch Veränderungen am Schieberegler. Auch die Form der Ecke kann durch Ziehen von P geändert werden. Wenn die Berührkurve angezeigt wird, dann passt das Applet beim Ziehen von P die Stablänge so an, dass dieser soeben noch um die Ecke geführt werden kann. Man sehe sich auch die Skizze zur Lösungsidee an.

Bewegt man den Stab, so kann man beobachten, wie er sich dem Eckpunkt zuerst von unten nähert und sich dann wieder entfernt. Das führt zur Idee zu untersuchen, wie "hoch" der Stab an der Stelle ragt. Ist diese "Höhe" nie größer als der y-Wert von P, so kann der Stab um die Ecke bewegt werden, anderenfalls nicht. Zwischenziel wird also sein, eine Funktion in Abhängigkeit von der Länge des Stabes und beispielsweise der x-Koordinate des Punktes B. Das lokale Maximum von muss also immer kleiner als sein, damit der Stab um die Ecke passt. Im Applet kann der Graph von in der Skizze zur Lösungsidee angezeigt werden.

	 Die Strecke, die den Stab beschreibt, ist Teil einer Geraden, die bei die y-Achse schneidet und die Steigung hat. Sie wird durch die Gleichung beschrieben. Nun ist die Länge des Stabes fest, womit durch ersetzt werden kann. Die Gerade hat daher die Gleichung .

An der Stelle hat der Term den Wert . Indem wir hierin durch ersetzen, erhalten wir die Funktionsgleichung

.

In der Skizze zur Lösungsidee wird der Graph dieser Funktion dargestellt. Die Ableitung verschwindet bei . Auf die Untersuchung der hinreichenden Bedingung dafür, dass an der gefundenen Stelle tatsächlich ein lokales Maximum vorliegt, wird hier verzichtet. Wird in der Funktionsgleichung durch ersetzt, erhält man nun den y-Wert, über den der Stab bei nicht herausragen wird: . Der Graph der Funktion von ist die Kurve, auf der alle die Eckpunkte liegen für die der Stab gerade noch bewegt werden könnte. Diese Kurve kann im Applet als Berührkurve angezeigt werden. Nun kann auch für einen gegebenen Punkt die maximal mögliche Länge. bestimmt werden: Für einen Stab maximaler Länge wird . Umformen bringt dann das gesuchte Ergebnis

.

Damit liegen die für eine gegebene Länge alle Eckpunkte, bei denen der Stab gerade noch um die Ecke bewegt werden kann, auf der Asteroiden mit der Gleichung

.