Soustava lineárních rovnic pro 3 neznámé
Lineární rovnice F(x,y,z) = 0 je obecnou rovnicí roviny v prostoru.
- Pokud mají všechny roviny společný jeden bod, má soustava právě jedno řešení.
- Pokud mezi rovinami existuje dvojice rovnoběžných rovin, soustava nemá řešení.
- Pokud mají rovnice společnou přímku, je řešením jednoparametrický systém.
- Pokud všechny rovnice vyjadřují tutéž rovinu, je řešením dvouparametrický systém.
Soustava 1:
3x + 6y + 4z = 12
3x - 6y - 4z = -12
6x - 3y - 2z = -6
odtud 3y + 2z = 6 a dosazením do prvního řádku x = 0, řešení je tvaru (0, 2 - 2t, 3t).
Soustava 2:
3x + 6y + 4z = 12
3x - 6y - 4z = -12
z = 0
Tato soustava je tak jednoduchá, že je zbytečné používat matice. Dosazením z = 0 do zbylých rovnic získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých
x +2y =4
x - 2y=-4
Řešením je bod (0, 2, 0).
Matici soustavy převedeme ekvivalentními úpravami na horní trojúhelníkovou matici:
odtud 3y + 2z = 6 a dosazením do prvního řádku x = 0, řešení je tvaru (0, 2 - 2t, 3t).
Soustava 2:
3x + 6y + 4z = 12
3x - 6y - 4z = -12
z = 0
Tato soustava je tak jednoduchá, že je zbytečné používat matice. Dosazením z = 0 do zbylých rovnic získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých
x +2y =4
x - 2y=-4
Řešením je bod (0, 2, 0).
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic o třech neznámých
Popište systém všech řešení v R3. 2x - y + 5 = 0 4x - 2y + 10 = 0