Estudi de les característiques diferenciadores dels extrems relatius d'una funció real de variable real
Objectiu
Aquesta activitat pretén posar de relleu que un extrem relatiu, , de la gràfica d'una funció y=f(x)
1) Es pot trobar en un punt del domini amb primera derivada nul·la, i.e. , la qual cosa equival a dir que la recta tangent a la gràfica de la funció a l'extrem , és horitzontal. La funció ha d'ésser necessàriament continua a .
2) És pot trobar també en un punt del domini on no existeix la primera derivada i per tant no es pot definir una recta tangent tot i que existeixin ambdues semirectes tangents laterals al punt o. Això passa:
a) si les dues derivades laterals existeixen i són diferents, la funció és continua al punt i n'hi ha canvi de
monotonia a un i altre costat.
b) si les dues derivades laterals són diferents, la funció és discontinua al punt i a més
c) si les dues derivades laterals són iguals, la funció és discontínua al punt i
3) És pot trobar també en un punt del domini on no existeix la primera derivada i per tant es pot definir la recta tangent tot i que existeixi una única semirecta tangent lateral si i
Si les semirectes tangents laterals o la recta tangent al punt és vertical.
En quants punts de la gràfica de la funció s'anul·la la primera derivada? Quins són? Cóm és la recta tangent a aquests punts? Són extrems? La condició d'anul·lació de la primera derivada és suficient per tal de trobar un extrem al punt?
Quants extrems relatius té la funció ? Estudia la continuïtat de la funció anterior. Quina és la seva funció derivada? Pot tenir extrems relatius una funció que no presenta punts on s'anul·li la seva derivada? Quina característica comuna, en termes de la derivada, tenen aquests punts? Pot tenir un extrem una funció en un punt a l'esquerra i la dreta del qual la monotonia no canvii?