Trasformazioni di simmetria
In questo capitolo presentiamo delle trasformazioni di coordinate che portano a delle nuove curve che presentano delle simmetrie rispetto all'originale, cioè risultano essere l'originale "specchiata" in qualche modo. Si tratta di trasformazioni puramente geometriche e matematiche, che operano sulla forma della curva; attribuire a tali trasformazioni dei significati "concreti" sul fenomeno rappresentato dalla funzione, come nel caso della traslazione, è più difficile, anche se qualche volta possibile.
Conoscere ed applicare le simmetrie alle funzioni ci permetterà di introdurre le funzioni simmetriche, cioè quelle che coincidono con le loro "specchiate".
Iniziamo a vedere nella seguente animazione le due simmetrie rispetto ad ognuno degli assi cartesiani.
FACCIAMO IL PUNTO
Nell'animazione abbiamo interrotto due tipi di sostituzioni, che portano a due rispettivi tipi di simmetrie. La sostituzione
genera una nuova funzione simmetrica alla originale rispetto all'asse delle - i risultati che erano negativi diventano positivi e viceversa.
La sostituzione
genera una nuova funzione simmetrica alla originale rispetto all'asse delle - il risultato che la funzione originale ottiene con l'input , la nuova funzione lo ottiene in .
Se una funzione COINCIDE con la propria simmetrica alla originale rispetto all'asse delle , cioè se ogni suo risultato per un input COINCIDE con quello ottenuto in , gode essa stessa di questa simmetria e si dice PARI.
La funzione in figura è PARI, perchè la sua curva è simmetrica rispetto all'asse : , cioè per ogni punto definito da un input qualsiasi e dal corrispondente risultato, anche il punto "riflesso" appartiene alla curva, perché l'input "riflesso" genera lo stesso risultato.
Da notare che questo è dovuto al fatto che l'espressione della funzione contiene solo potenze pari di - esistono altre funzioni pari che non hanno questa caratteristica, ma sono trascendenti (non puramente algebriche).
Una funzione non può essere simmetrica rispetto all'asse delle , perché per lo stesso input dovrebbe avere un certo risultato ed anche il suo opposto - ma una funzione può avere un solo risultato alla volta.
La curva della circonferenza in figura è simmetrica rispetto all'asse delle . Non può essere una funzione, che deve garantire l'unicità del risultato, mentre in questo caso per simmetria per ogni valore di input - in figura è mostrato l'esempio ha un risultato ed anche il suo opposto.
Nella prossima animazione vedremo che combinando le due simmetrie rispetto agli assi se ne ottiene un'altra, rispetto all'origine degli assi.