La simetría del Bridg-it
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Juegos.
Muchos juegos tienen una estructura simétrica que se puede aprovechar para usar como estrategia ganadora, ya sea total o parcialmente.
Por ejemplo, todo jugador de ajedrez, incluso aprendiz, reconoce la oposición de reyes como la esencia de la estrategia para dar jaque mate con rey y torre, al igual que su utilidad en otras muchas situaciones similares.
En otros casos, la estrategia ganadora surge de romper esa simetría. Es el caso de Píllame, donde las dos fichas parecen condenadas a estar permanentemente en oposición, hasta que una de ellas consigue romper esa oposición aprovechando la geometría del tablero.
Algunas de esas simetrías inherentes son fáciles de descubrir, como en el caso de los Bolos (Kayles) o del Nim circular. Otras, más profundas, surgen cuando se descomponen y reagrupan los elementos en juego, como en la simetría del Nim.
En el caso del Bridg-it, el primer jugador puede aprovechar la simetría para conseguir ganar siempre, pero para ello deberá realizar un primer movimiento que juegue a su favor. El problema es que esta primera jugada rompe parte de la simetría inicial del tablero, lo que dificulta encontrar la estrategia ganadora.
Para ver mejor la simetría oculta, observa el tablero de la construcción. En él se han añadido casillas en las posiciones que los jugadores pueden elegir para colorear sus respectivos segmentos. La función de estas casillas es simplemente facilitar la siguiente explicación:
- Observa que el jugador 1 ya ha jugado, coloreando en azul el segmento de la parte inferior izquierda.
- Fíjate ahora en los pequeños segmentos de color azul celeste, que también se han añadido. ¡Harán de espejos!
- Supongamos que el jugador 2 elige una casilla gris oscuro. Entonces al jugador 1 le bastará elegir la casilla simétrica respecto al espejo correspondiente. Esta elección sistemática imposibilitará que el jugador 2 consiga su objetivo y, ya que no puede haber empate, el jugador 1 se asegura así la victoria.
- Por último, si el jugador 2 elige alguna de las ocho casillas no grises (marrón, naranja, verde o púrpura), cuya simetría fue rota por la primera jugada del jugador 1, a este jugador le bastará elegir la otra casilla del mismo color. [Observa la fina diagonal punteada que divide el tablero en dos. Pues bien, la jugada del jugador 1 provocó el desplazamiento de las simetrías, siguiendo esa diagonal de abajo arriba, de la mitad inferior del tablero, de modo que "se rompieron los espejos" que reflejaban las casillas de igual color. Por eso ocupan ahora las nuevas posiciones.]
- Nota: Las casillas de los bordes están en gris claro porque su elección no contribuye en nada a la victoria del jugador que las seleccione. En la construcción, si el jugador 2 opta por una de ellas, el jugador 1 hará lo mismo. Sin embargo, el jugador 1 podría jugar "mejor" coloreando en azul cualquier otro segmento útil. Si, posteriormente, el jugador 2 decidiera colorear de rojo el segmento simétrico al ya coloreado en azul, el jugador 1 elegiría cualquier otro segmento útil, y así sucesivamente.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.