Il moto di un pianeta
Vogliamo costruire il moto di un pianeta attorno al Sole. Ricordiamo le leggi di Keplero.
Prima legge: L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole (la stella) occupa uno dei due fuochi.
Seconda legge: Il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali. Newton dimostrò che questo è equivalente alla conservazione del momento angolare.
Terza legge: Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del semiasse maggiore dell'orbita è lo stesso per tutti i pianeti.
Costruzione:
- Costruiamo l'orbita del pianeta PIPPO.
- Supponiamo che il Sole si trovi nel punto di coordinate (-4,0), l'altro fuoco F2 avrà quindi coordinate (4,0).
- Supponiamo che l'equazione dell'orbita ellittica di PIPPO sia:, quindi con a=5UA e b=3UA.
- Costruiamo tale orbita e prendiamo il punto PIPPO su di essa (
).
- Sia O il punto medio tra il SOLE e F2.
- Costruisci la retta passante per i fuochi dell'ellisse.
- Siano AFELIO e PERIELIO i due punti di intersezione di tale retta con l'ellisse.
- Costruisci il segmento a, semiasse maggiore dell'ellisse. Coloralo di blu.
- Costruisci il segmento c, semidistanza focale. Coloralo di rosso.
).
- Sia O il punto medio tra il SOLE e F2.
- Costruisci la retta passante per i fuochi dell'ellisse.
- Siano AFELIO e PERIELIO i due punti di intersezione di tale retta con l'ellisse.
- Costruisci il segmento a, semiasse maggiore dell'ellisse. Coloralo di blu.
- Costruisci il segmento c, semidistanza focale. Coloralo di rosso. Con che velocità si muove PIPPO sulla sua orbita?
Sappiamo che avrà velocità massima al perielio e velocità minima all'afelio.
- Sia rMIN = a-c la distanza minima del pianeta dal Sole, cioè la distanza al perielio.
- Supponiamo che la velocità massima sia vMAX= 5.
- Quale sarà la sua velocità minima all'afelio?__________________________________
- Costruisci il raggio vettore r, che parte dal SOLE e arriva al pianeta PIPPO.
- Traccia la retta tangente t tangente all’ellisse e passante per P.
- Costruisci su tale retta il vettore velocità….quale sarà il suo modulo?
Per il principio di conservazione del momento angolare possiamo ricavarci la velocità v di PIPPO:
- Sia α l’angolo tra il vettore posizione e il vettore velocità.
- Definisci il modulo del vettore velocità v=(v_{max}*r_{min})/(|r|*sin(α)).
- Costruisci una circonferenza di centro PIPPO e raggio v.
- Trova il punto di intersezione tra la retta t e la circonferenza, chiama R tale punto.
- Costruisci il vettore v (da PIPPO ad R). Tale vettore cambierà quindi in direzione, verso e modulo.
- Non ti resta che impostare l'animazione per P, con una velocità pari a v.