ამოცანა: უდიდესი ფართობის ნაკვეთი
ამოცანის პირობა
ფერმერს აქვს 40 მეტრი სიგრძის ბადის ღობე და სურს მისი გამოყენებით მართკუთხა ფორმის ბოსტანი შემოღობოს. ნაკვეთის ერთ მხარეს უკვე აშენებული სწორი კედელი ესაზღვრება, ამიტომ ფერმერს ბადის გაჭიმვა მხოლოდ დანარჩენი სამი მხარისთვის მოუწევს (კედლის მხარეს ღობე არ სჭირდება).დაეხმარეთ ფერმერს იმ ზომების შერჩევაში, რომლების დროსაც ბოსტნის ფართობი იქნება უდიდესი. რა იქნება ეს მაქსიმალური ფართობი?
1. მათემატიკური მოდელის შეხსენება
როგორც უკვე ვიცით, თუ მართკუთხედის ორ ტოლ გვერდს აღვნიშნავთ -ით, მესამე გვერდი (კედლის პარალელური) იქნება .ფართობის გამოსათვლელი ფორმულაა:
გავხსნათ ფრჩხილები: ეს არის კვადრატული ფუნქცია, რომლის გრაფიკიც არის პარაბოლა. რადგან -ის წინ კოეფიციენტი (-2) უარყოფითია, პარაბოლას შტოები მიმართულია ქვემოთ. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციას უდიდესი მნიშვნელობა აქვს თავის წვეროში.
2. ამოხსნა ფესვების საშუალებით (უმარტივესი გზა)
ყველაზე მარტივი გზა პარაბოლას წვეროს საპოვნელად მისი ფესვების (ნულების) პოვნაა:
- გავუტოლოთ ფართობი ნულს: .
- ფესვებია: და .
- რადგან პარაბოლა სიმეტრიულია, მისი წვერო (ანუ მაქსიმუმი) მდებარეობს ზუსტად ფესვების შუაში.
4. საბოლოო პასუხი
რეალიზაცია GeoGebra-ში
ეს ყველაფერი დავინახოთ GeoGebra-ში:
- შეიყვანეთ ფუნქცია:
f(x) = -2x^2 + 40x (ან პირდაპირ: f(x)=x(40-2x)). - Input ველში ჩაწერეთ ბრძანება:
Extremum(f). - პროგრამა მაშინვე მონიშნავს პარაბოლას უდიდეს წერტილს (10, 200) და დაინახავთ, რომ x=10 არის ის წერტილი, სადაც ფართობი პიკს აღწევს.