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15.部分積分

何を微分用にする?

1.積の微分を積分へ

このページは電子ブック「探求 数学Ⅲ」の一部です。 <積の微分から部分積分へ> 小文字が導関数。逆微分をインテグラルの頭文字アイでかくとl(f)=F,l(g)=G。 微分公式(FG)'=fG+Fgを変形する。Fg=(FG)'-fG 両方の辺を積分して、∫(Fg)=FG-∫(fG)を部分積分[Integrating by parts ]公式という。 次の3ステップでやってみよう。(積分定数Cは省略) (式の見方)FとGはもともと対等な式なので、Fが微分用で、多項式になるものがよい。 (手順1) gを積分してFGとかく。 (手順2) それから、そのF部分だけ微分したfGの積分をひく。 fを積分、Gを微分すると∫fG=FG- ∫Fg Fを微分、gを積分すると∫Fg=FG-∫fG。

2.代数と非代数の積

<logxがあれば、これを微分用に> logxを微分して1/xとすると、積が代数式なら、積分関数もカンタンになりやすい。 (例)「不定積分∫ logx dx」は?  (F,g)=(logx , 1)⇒ (f,G)=(1/x,x)⇒ fG=1は積分がカンタン。 FG-∫(fG)dx=(logx)(x)-∫1dx=x logx- x+C (例) 「不定積分∫ x logx dx」は?  (F,g)=(logx , x)⇒ (f,G)=(1/x,1/2x2)⇒ fG=1/2xは積分がカンタン。 FG-∫(fG)dx=(log)(1/2x2)-∫(1/2x)dx=logx/2・x2-1/4x2+C (例) 「不定積分∫ √x logx dx」は?  (F,g)=(logx,x1/2)⇒ (f,G)=(1/x,3/2x3/2)⇒ fG=3/2x1/2は積分がカンタン。  FG-∫(fG)dx=(logx)(3/2x3/2)-∫(3/2x1/2)dx=logx・3/2x3/2-3/2・3/2x3/2+C=3/2√x3 (lnx-3/2)+C (例)  「不定積分∫((4x+1)logx)dx]は? (F,g)=(logx,4x+1)⇒ (f,G)=(1/x,2x2+x)⇒ fG=2x+1は積分がカンタン。 ∫(Fg)=(lnx)(2x2+x)-∫(2x+1)dx=(logx)(2x2+x)-x2-x+C logxがないなら、代数式を微分用に> 積分したあとにさらに積が残れば、部分積分を追加実行してみよう。 (例) 「不定積分∫ x sinx dx」は? (F,g)=(x,sinx)⇒ (f,G)=(1,-cosx)⇒ fG=-cosxは積分がカンタン。  FG-∫(fG)dx=x(-cosx)-∫(-cosx)dx=-x cosx+sinx+C (例) 「不定積分∫ x cosx dx」は?  (F,g)=(x,cosx)⇒ (f,G)=(1,sinx)⇒ fG=sinxは積分がカンタン。  FG-∫(fG)dx=x(sinx)-∫(sinx)dx=xsinx+cosx+C (例) 「不定積分∫((x)ex)dx」は?  (F,g)=(x,ex)⇒ (f,G)=(1,ex)⇒ fG=exは積分がカンタン。  FG-∫(fG)=(x)(ex)-∫(1・ex)=xex-ex+C (例) 「不定積分∫((x2)ex)dx」は?  (F,g)=(x2,ex)⇒ (f,G)=(2x,ex)⇒ fG・1/2=x・exは、積分が上の例で実行済み。  FG-∫(fG)=(x2)(ex)-∫(2x・ex)=x2ex-2(xex-ex+C)=ex2((xex-ex+C) (例) 「不定積分∫ x2 sinx dx」は? (F,g)=(x2,sinx)⇒ (f,G)=(x,-cosx)⇒ fG・(-1/2)=x cosxは、積分が上の例で実行済み。  ∫(Fg)dx=FG-∫(fG)dx=x2(-cosx)-∫2x(-cosx)dx=x2(-cosx)+2∫xcosxdx=-x2(cosx)+2(xsinx+cosx)+D =2xsinx+(2-x2)cosx+D

ペアをダブルで部分積分

3.非代数どうしの積

<指数関数×三角関数は、部分積分を2回してからまとめる> exが微分用で、三角関数が積分用。 (例) 「不定積分 ∫ ex sinx dx」は?  変数は置換しないので、  ここでは、積分変数を略して I(関数)=原始関数のようにかくことにする。 P=I(exsinx)、Q=I(excosx)とペアになるものをおく。 F=f=exを使う。  I(sinx)=-cosx、l(cosx)=sinxこれが積分したあとの関数Gとなる。  P=l(exsinx)=ex(-cosx)-I(ex(-cosx))=-excosx+Q  Q=l(excosx)=ex(sinx)-I(ex(sinx))=exsinx-P まとめるとP=-excosx+(exsinx-P)=ex(sinx-cosx)-P  だから、不定積分P=ex(sinx-cosx)/2 (例) 「不定積分 ∫ e-x sinx dx」は?  P=I(e-xsinx)、Q=I(e-xcosx)とペアになるものをおく。  微分用F=e-x,微分後f=-e-xを使う。  I(sinx)=-cosx、l(cosx)=sinxこれが積分したあとの関数Gとなる。  P=l(e-xsinx)=e-x(-cosx)-I(-e-x(-cosx))=-e-xcosx -Q  Q=l(e-xcosx)=e-x(sinx)-I(-e-x(sinx))=e-xsinx+P まとめるとP=-e-xcosx-(e-xsinx+P)=-e-x(sinx+cosx)-P  だから、不定積分P=-e-x(sinx+cosx)/2 (一般化しよう) 「不定積分 P=∫ eax sinbx dx, Q=∫ eax cosbx dx」は?  微分用F=eax,微分後f=aeaxを使う。 置換積分によって、  I(sinbx)=-1/bcosbx、l(cosbx)=1/bsinbx これが積分したあとの関数Gとなる。  P=l(eaxsinbx)=eax(-1/bcosbx)-I(aeax(-1/bcosbx))=-1/b・eaxcosbx +a/b・Q  Q=l(eaxcosbx)=eax(1/bsinbx)-I(aeax(1/bsinbx))=1/b・eaxsinbx - a/b・P まとめると P=-1/b・eaxcosbx+a/b(1/b・eaxsinbx-a/b・P)=1/b2・eax(asinbx-bcosbx)-a2/b2P  だから、不定積分P=eax(a sinbx- b cosbx)/(a2+b2)+C Q=-1/b・eaxsinbx- a/b(-1/b・eaxcosbx+a/b・Q)=1/b2・eax(asinbx+bcosbx)-a2/b2Q だから、不定積分Q=eax(a sinbx+b cosbx)/(a2+b2)+C

4.サインのn乗の積分関数の漸化式

sinnx,cosnxの不定積分はどうなるだろうか? とりあえず In=Integral(sinnx, x)(nが非負の整数)という関数列を考えてみよう。 そのために、 I(n)=∫sinnx dx IC(n)=∫ sinnxcosx dx ICC(n)=∫cosxsinnxcosx dx とおき、その関係をさぐってみよう。 <実験> I(2)=∫sin2x dx = ∫sin2x dx=1/2 ∫ (1-cos2x)dx=1/2(x-1/2sin2x) ・I(4)=∫sin4x dx = ∫sin2x sin2x dx= ∫sin2x(1- cos2x)dx= ∫sin2x dx- ∫cosx・ sin2xcosx dx =I(2)- ICC(2)  置換積分しよう。sinx=tとおくと、dt/dx dx= cosx dx = dtだから、   IC(2)=∫ sin2xcosx dx= ∫t2 dt=1/3 t3=1/3 sin3x+C  部分積分しよう。(F,g)=(cosx, IC(2) )とおくと、(f,G)=(-sinx, 1/3 sin3x)だから、   ICC(2)=∫ Fg dx= FG- ∫fG=cosx・1/3 sin3x- ∫-sinx・1/3 sin3x dx =1/3 cosx・sin3x+1/3 ∫sin4x dx    =1/3 cosx・sin3x+1/3I(4) まとめてみる。I(4)=I(2)-1/3 cosx・sin3x-1/3I(4)だから、 I(4)(1+1/3)=I(2)-1/3 cosx・sin3x  I(4)=1/4(3・I(2)- cosx・sin3x) ・I(6)=∫sin6x dx = ∫sin4x sin2x dx= ∫sin4x(1- cos2x)dx= ∫sin4x dx - ∫cosx・ sin4xcosx dx =I(4)- ICC(4)  置換積分しよう。sinx=tとおくと、dt/dx dx= cosx dx = dtだから、   IC(4)=∫ sin4xcosx dx= ∫t4 dt=1/5 t5=1/5 sin5x+C  部分積分しよう。(F,g)=(cosx, IC(4) )とおくと、(f,G)=(-sinx, 1/5 sin5x)だから、   ICC(4)=∫ Fg dx= FG- ∫fG=cosx・1/5 sin5x- ∫-sinx・1/5 sin5x dx =1/5 cosx・sin5x+1/5 ∫sin6x dx    =1/5 cosx・sin5x+1/5I(6) まとめてみる。I(6)=I(4)-1/5 cosx・sin5x-1/5I(6) だから、 I(6)(1+1/5)=I(4)-1/5 cosx・sin5x  I(6)=1/6(5・I(4)- cosx・sin5x) <一般化しよう> ・I(n)=∫sinnx dx = ∫sinn-2x sin2x dx= ∫sinn-2x(1- cos2x)dx= ∫sinn-2x dx - ∫cosx・ sinn-2xcosx dx =I(n-2)- ICC(n-2)  置換積分しよう。sinx=tとおくと、dt/dx dx= cosx dx = dtだから、   IC(n-2)=∫ sinn-2xcosx dx= ∫tn-2 dt=1/(n-1) tn-1=1/(n-1) sinn-1x+C  部分積分しよう。(F,g)=(cosx, IC(n-2) )とおくと、(f,G)=(-sinx, 1/(n-1) sinn-1x)だから、   ICC(n-2)=∫ Fg dx= FG- ∫fG=cosx・1/(n-1) sinn-1x- ∫-sinx・1/(n-1) sinn-1x dx =1/(n-1) cosx・sinn-1x+1/(n-1) ∫sinnx dx    =1/(n-1) cosx・sinn-1x+1/(n-1)I(n) まとめてみる。I(n)=I(n-2)-1/(n-1) cosx・sinn-1x-1/(n-1)I(n) だから、 I(n)(1+1/(n-1))=I(n-2)-1/(n-1) cosx・sinn-1x  I(n)=1/n((n-1)・I(n-2)- cosx・sinn-1x) 結論 (例) 「cos4xの不定積分」は? 「cos3xの不定積分」は? から

4.定積分と部分積分

部分積分公式∫fG=FG- ∫Fgを定積分に使うとき、 のように、積分記号のない関数積FGについても、定積分のように、FG(b)-FG(a)を求めよう。 FGの選び方の確認。 FGの役割は対等だ。積関数の片方を積分したら、他方は積分記号の中で微分しよう。 たとえば、 微分用はlogxで、logxがなければ代数式で。1も代数式。 (例) f,G=(1, logx)⇒F,g=(x, 1/x)⇒Fg=1でカンタン。 f,G=(x, logx)⇒F,g=(1/2x2,1/x)⇒Fg=1/2xでカンタン。 f,G=(sinx, x)⇒F,g=(-cosx, 1)⇒Fg=-cosxでカンタン。 f,G=(sinx, 1)⇒F,g=(-cosx, 0)⇒Fg=0でカンタン。 (例)上記の3で、 ∫ eax sinbx dx=eax(a sinbx- b cosbx)/(a2+b2)+C、 ∫ e-x sinx dx=e-x(- sinx- cosx)/2+Cから、 (例)上記の4で、 ・In=∫sinnx dx とすると、In=1/n((n-1)・In-2 - cosx・sinn-1x特にf(x)=cosx・sinn-1xとするとき、f(π/2)-f(0)=0-0=0だから、 Inの積分区間を[0,π/2]にすると、In=(n-1)/n ・In-2 (一般化しよう) 積分区間を[0,π/2]にすると、In=∫sinnx dxとするとき、l2=π/4、In=(n-1)/n ・In-2 から、I2=π/2・1/2、I4=π/2・1/2・3/4、I6=π/2・1/2・3/4・5/6、I8=π/2・1/2・3/4・5/6・7/8、.... だから、nが偶数ならば、∫sinnx dx=π/2・