Cuadrivértice ortocéntrico
Cuatro puntos A, B, C y D tales que la recta que pasa por cualesquiera dos de ellos es perpendicular a la que pasa por los otros dos es un cuadrivértice ortocéntrico. Considerando las tres rectas que unen tres de los puntos formando un triángulo, se tiene que el cuarto es entonces el ortocentro de tal triángulo. Es decir, en un cuadrivértice ortocéntrico, cada punto es el ortocentro del triángulo definido por los otros tres, de ahí su nombre.
Los cuatro puntos determinan cuatro triángulos: uno acutángulo en cuyo interior se halla el cuarto punto que es su ortocentro, y tres obtusángulos, en los que se divide el anterior uniendo el ortocentro con los vértices.
¿Por qué no puede ser ninguno rectángulo?
Como puede verse marcando las diferentes casillas, los tres pies de las alturas son los mismos para los cuatro triángulos, mientras que los puntos medios de los lados se trocan con los puntos medios entre ortocentro y vértice. Por tanto, los cuatro comparten la misma circunferencia de los nueve puntos. Esta es homotética de cada circunferencia circunscrita respecto del ortocentro que le corresponde, y con razón ½. Por tanto, las cuatro circunferencias circunscritos a estos triángulos tienen el mismo radio. Igualmente comparten la misma Deltoide de Steiner, envolvente de las rectas de Simson-Wallace.
Como se ve en Alturas y ortocentro, las tres sumas de los cuadrados de los segmentos perpendiculares, lados y distancias del ortocentro al vértice en cada triángulo, son iguales al cuadrado del diámetro de la circunferencia circunscrita.
Por tanto la circunferencia de los nueve puntos del cuadrivértice es tangente a las cuatro circunferencias inscritas y a las doce ex-incritas a los cuatro triángulos.
Los equicentros de cualquier triángulo, el incentro y los tres ex-incentros, también constituyen un cuadrivértice ortocéntrico, pues las bisectrices interiores y exteriores son las alturas y los lados del triángulo de ex-incentros, y son perpendiculares entre si.
Otra cuestión interesante de los cuadrivértices ortocéntricos es que si tres de sus componentes yacen en una hipérbola equilátera, el cuarto también: Triángulos inscritos en una hipérbola equilátera. Y al contrario, cualquier cónica que pasa por los cuatro puntos es una hipérbola equilátera y tienen su centro en la circunferencia de los nueve puntos: Circuncónicas de un triángulo.