Ecuación general de la elipse
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cómo se hace... con GeoGebra.
En la actividad anterior se ha mostrado cómo crear rápidamente una elipse general usando la curva paramétrica basada en su centro O y sus semiejes a y b:
Este procedimiento permite manejar con agilidad elipses generales (es decir, cuyos ejes no tienen por qué ser paralelos al los ejes de coordenadas).
Alternativamente, podemos usar la herramienta o comando específicos de GeoGebra para trazar esa elipse general, previo cálculo de la posición de los focos (C y C'):
Elipse(C, C', Punto en la elipse)
Dados O, A y B, es fácil calcular uno de los focos como:C = O + sqrt((abs(A - O))² - (abs(B - O))²) VectorUnitario(A - O)
y el otro foco, como:C' = O + O - C
Como A es un punto de la elipse, ya podemos aplicar el comando de GeoGebra y obtener tanto la curva como su ecuación:Ahora bien, el uso de la herramienta específica de GeoGebra no es tan general como el uso de la curva paramétrica c, ya que GeoGebra solo dispone de comandos específicos para unas pocas curvas.
Incidentalmente, observemos que los coeficientes de la ecuación son decimales, mientras que, tal como hemos colocado los puntos O, A y B, tenemos que a=(3,1), b=(-0.6,1.8), por lo que a2=10 y b2=3.6, así que deberíamos esperar que GeoGebra nos devolviese una ecuación con coeficientes enteros. Estos coeficientes enteros los podemos recuperar fácilmente escribiendo en la vista CAS: Simplifica(c),
Ahora bien, ¿qué sucede si GeoGebra no dispone de un comando específico para la curva paramétrica? En este caso podemos intentar comprobar si tal curva puede ser generada a partir de alguna otra curva canónica mediante un cambio de base, tal como se detalla en el libro Cambio de sistema de referencia.
Por ejemplo, para el caso anterior, la curva canónica que genera todas las elipses es la circunferencia unidad centrada en el origen, de ecuación f(x,y)=0, donde f(x,y) = x2 + y2 - 1. El nuevo sistema de referencia es {O, a, b}, por lo que la matriz de cambio de base es:
Llamando M' a su inversa, obtenemos, gracias al uso de la vista CAS, la siguiente ecuación:
El procedimiento de cambio de sistema de referencia no solo nos aporta inmediatamente los coeficientes enteros de la ecuación, sino que lo podemos aplicar a muchas más curvas además de la elipse. En particular, se puede aplicar, por ejemplo, a todas las curvas cuadráticas, incluidas las cónicas degeneradas y a todas las funciones cúbicas.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.