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Pfeile vervielfachen

Zentrische Streckung

Gegeben sind die Originalfigur ABCD, das Streckungszentrum Z sowie der Eckpunkt A' der Bildfigur. Jeder Eckpunkt der Originalfigur wird durch eine Gerade mit dem Streckungszentrum Z verbunden. Der zugehörige Bildpunkt liegt auf dieser Geraden, jede Seite der Bildfigur ist zur entsprechenden Seite der Originalfigur parallel. Bewege A' - auch über Z hinaus. Stelle fest, welche Beziehung zwischen den Pfeilen von Z zu einem Originalpunkt und von Z zu seinem Bildpunkt besteht.

Aufgabe 1

Wie wird der Bildpunkt B' konstruiert, ohne seine Koordinaten zu berechnen?

Bei der zentrischen Streckung wurden die Koordinaten der Pfeile mit einer reellen Zahl r multipliziert. Welche geometrischen Beziehungen bestehen zwischen und , wenn ?

Aufgabe 2a

Da die Katheten der beiden rechtwinkligen Dreiecke im gleichen Verhältnis stehen, sind die beiden Dreiecke ähnlich. Daher gilt auch: . Da die Katheten paarweise parallel sind und die spitzen Winkel wegen der Ähnlichkeit paarweise übereinstimmen, sind die beiden Pfeile parallel.

Aufgabe 2b

Welche Bedeutung hat das Vorzeichen von r für die beiden Pfeile?

Zusammenfassung:

Ist , so gilt:
  • ist zu parallel.
  • hat die -fache Länge von .
  • hat die gleiche Orientierung wie , wenn r positiv ist, und die entgegengesetzte Orientierung, wenn r negativ ist.

    Aufgabe 2c

    Zeige, dass umgekehrt Folgendes gilt: Sind und parallel, so gibt es eine reelle Zahl r mit .

    Zurück zu den Eigenschaften der zentrischen Streckung:

    Aufgabe 3

    Der Faktor k, mit dem man multiplizieren muss, um zu erhalten, heißt Streckungsfaktor:

    .

    Begründe: a) . b) . Skizziere dafür Z, A, A', B und B' so, dass A und A' (1) auf der gleichen Seite von Z, (2) auf verschiedenen Seiten von Z liegen.

    [center][math]k\gt0[/math][/center]

    [center][math]k\lt0[/math][/center]