７．漸化式と極限
このページは電子ブック「探求 数学Ⅲ」の一部です。
★つまってきたー！
１．漸化式の基本形
＜等差数列型＞
an+1=an+dならば、an=a1+d(n-1)
（例）
geogebraでa1=1,an+1=an+5の100番目までを調べるには、
f(a)=a+5と関数定義して、an=IterationList(f,1,100)とすればよいね。
nを変化させる場合は、nをスライダー変数として定義しておき、
an=IterationList(f,1,n)とすればよいね。そのつどのnのときanを得るには
an(n)とｎ番目のElementをゲットしよう。
＜等比数列型＞
an+1=r・anならば、an=a1×ｒ(n-1)
（例）
geogebraでa1=1,an+1=an×5の100番目までを調べるには、
f(a)=a×5と関数定義して、an=IterationList(f,1,100)とすればよいね。
＜階差数列型＞
an+1=an+f(n)ならば、an=a1+∑n-1f(k)
（例）
「a1=0, an+1-an=(1/2)nの一般項と極限値」は？
bn=an+1-anとおくと、∑bk=an+1-an+an-an-1+.....+a2-a1=an+1-a1=an+1
一方で、∑bk=∑1/2・(1/2)n=1/2・(1-(1/2)n)/(1-1/2)=1-(1/2)n
だから、an=1-(1/2)n-1→1に収束する。
（例）
「A1は面積１の正三角形。An+1はAnのすべての辺の３等分した中央の線分上に正三角形を追加した
フラクタル図形。SnはAnの面積とするとき、Snの極限値」は？
Anで追加する正三角形の面積をan,辺の数をbnとすると、an+1=(1/9)an。bn+1=4bn
S2-S1=3･(1/9)、S3-S2=3･4･(1/9)2、S4−S3=3･42･(1/9)3、......Sn+1-Sn=3･4n-1･(1/9)n。
∑(Sk+1-Sk)=Sn+1-S1=∑3(1/9)(4/9)k-1。これから、
Sn=S1+1/3(1-(4/9)n-1)/(1-4/9)=1+3/5(1-(4/9)n-1)→1+3/5=1.6に収束する。
２．特性方程式
＜２項間の漸化式＞
特性方程式は数列の項をｘやｔに置き換えたもので、式変形に応じた係数を求めるためのものだ。
たとえば、an+1=p・an+qという漸化式を等比型bn+1=r bnに変形したいとしよう。
・特性方程式を使わないとき
bn=an-α, bn+1=an+1-αを代入する。an+1-α=r(an-α) an+1=r･an-α(r-1)。
係数比較すると、r=p, q=-α(r-1)から、α=q/(1-p)となる。
・特性方程式を使うとき
t=pt+qとすると、t=q(1-p)となる。
・どちらにしてもbn=an-q/(1-p)とおくと、bn+1=p･bnとなることがわかる。
つまり、an+1-q/(1-p)=p(an-q/(1-p)) =pn(a1-q/(1-p))
an+1=q/(1-p)+pn(a1-q/(1-p))
（例）
「a1=1,an+1=(1/2)an+1のanの極限値」は?
α=1/(1-1/2)=2。an+1=2+(1/2)n(a1-2)=2-(1/2)n→2に収束する。
＜３項間の漸化式＞
たとえば、an+2+pan+1+qan=0を等比型bn+1=βbnに変形したいとしよう。
・特性方程式を使わないとき
bn=an+1-αan, bn+1=an+2-αan+1を代入する。an+2-αan+1=β(an+1-αan)
an+2-(α+β)an+1+αβan=0 係数比較すると、p=-(α＋β） q=αβから、
αとβはｔ2＋pt+q=0の解となる。
・特性方程式を使うとき
t2+pt+q=0とすると、t=α、βとなったとする。αとβは対等だから、次の２式ができる。
an+2-αan+1=β(an+1-αan), an+2-βan+1=α(an+1-βan)
これから
an+2-αan+1＝βn(a2-αa1)=kとおく→βan+2-αβan+1＝kβ
an+2-βan+1＝αn(a2-βa1)=lとおく→αan+2-αβan+1＝lα。
片々の差は(βan+2-αan+2)=kβ-lα。an+2=(kβ-lα)/(β-α)。
an+2=(βn+1(a2-αa1)-αn+1(a2-βa1))/(β-α)
（例）
「a1=０，a2=１，２an+2−３an+1＋an=0のanの極限値」は？
2x2-3x+1=(2x-1)(x-1)=0となるから、x=1,1/2で。
an=((1/2)n-1(1-1･0)-(1)n-1(1-1/2･0))/(1/2-1)=((1/2)n-1-1)/(-1/2)=2(1-(1/2)n-1)→2に収束する。
（例）
geogebraでフィボナッチ数列a1=1,a2=1, an+2=an+1+anの
30番目までを調べるには、
an=IterationList(a + b, a, b, {1, 1}, 30)
とするか、f(a, b)=a+bと関数定義して、an= IterationList(f, {1,1},30)などとすればよいね。
＜対称漸化式＞
an+1=pan+qbn、bn+1=qan+pbn
和の数列an+1+bn+1=(p+q)(an+bn)=(p+q)n(a1+b1)、差の数列an+1-bn+1=(p-q)(an-bn)=(p-q)n(a1-b1)
これから、和差算をして、
an+1＝((p+q)n(a1+b1)+(p-q)n(a1-b1))/2、bn+1=((p+q)n(a1+b1)-(p-q)n(a1-b1))/2
（例）
「a1=1,b1=2,an+1=3an+2bn,bn+1=2an+3bnの一般項」は？
an＝((3+2)n-1(1+2)+(3-2)n-1(1-2))/2=(3･5n-1-1))/2、
bn=((3+2)n-1(1+2)-(3-2)n-1(1-2))/2=(3･5n-1+1))/2
（例）
「a1=2,b1=1,an+1=2/3an-1/3bn,bn+1=-1/3an+2/3bnの極限値」は？
an＝((2/3-1/3)n-1(2+1)+(2/3+1/3)n-1(2-1))/2=((1/3)n-2+1))/2→1/2
bn=((2/3-1/3)n-1(2+1)-(2/3+1/3)n-1(2-1))/2=((1/3)n-2-1))/2→-1/2。★いきなり近づいたー
３．漸化不等式
＜幅の変化＞
たとえば紙を同じ向きの辺を半分に折るという操作をくり返しとします。
折るたびに紙幅anはan+1=1/2anという漸化式で小さくなる。
もしも紙にシミがあるとしたら、そのシミの位置は端っこからの距離bnとすると、
いつもbn<=anといえるから、bn+1<=1/2anという関係ができるね。
このように、不等式でもそのキワの等式に着目すると等比型の数列につながる。
（例）
「a1=4,|an+1-5|<=1/2|an-5|のときのanの極限値」は？
|an+1-5|<=1/2|an-5|<=(1/2)n|4-5|→0に収束する。だから、an→5に収束する。
＜絶対値化＞
A＝Bならば、｜A｜＝｜B｜
|AB|=|A||B|から、絶対値記号は積のそれぞれの要素に分けられる。
｜１/(x２+３)｜<=|1/3| (分母のx2という０以上のものを取り去ると同じか大きくなる。）
などのように、絶対値記号を使うことで、数式を単純化して幅の変化の収束に持ち込める。
（例）
「a1=4, an+1=√(2an+3)のときのanの極限値」は？
t2=2t+3から、t>0の範囲で、t2-2t-3=(t-3)(t+1)=0からｔ＝３
an+1-3=(√(2an+3)-3)/1=(√(2an+3)-3)(√(2an+3)+3)/(√(2an+3)+3)=(2an-6)/(√(2an+3)+3)
an+1-3=2/(√(2an+3)+3)・(an-3)
この等式を絶対値化して単純な不等式にしよう。
|an+1-3|=2/(√(2an+3)+3)・|an-3| <=2/3・|an-3|<=(2/3)n・|4-3|→0に収束する。
だから、an→３に収束。