Seno y coseno. El círculo unitario
El seno y el coseno son funciones matemáticas que describen las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo y sus ángulos.
Un triángulo rectángulo se puede construir usando como base un círculo unitario, es decir, de radio igual a 1. De esta manera, la hipotenusa será siempre igual a 1.
El ángulo recto siempre es el opuesto a la hipotenusa. En el triángulo rectángulo de la figura, el seno del ángulo θ, , o en inglés , representa la longitud del lado opuesto, en verde.
El coseno del ángulo θ, , representa la longitud del lado adyacente, en azul.
Es importante notar que en realidad el seno se calcula como la longitud del lado opuesto dividido entre la longitud de la hipotenusa, pero al tratarse de una circunferencia unitaria la hipotenusa es igual a 1. De igual forma para el coseno, que es la longitud del lado adyacente dividido entre la hipotenusa.
Circunferencia unitaria y teorema de Pitágoras:
Al tener un triángulo rectángulo se puede utilizar el teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, el lado o cateto adyacente, ca, y el lado o cateto opuesto, co. Matemáticamente, esto se expresa como:
Como se ha visto que la hipotenusa es igual a 1 y los catetos opuesto y adyacente son el seno y el coseno respectivamente, entonces:
Esta es la identidad trigonométrica fundamental conocida como la identidad pitagórica. Esta relación nos dice que para cualquier ángulo θ en un triángulo rectángulo, el cuadrado del seno de ese ángulo más el cuadrado del coseno de ese ángulo siempre será igual a 1.
Ejemplo: Dada una circunferencia con un ángulo cuyo seno es igual a , calcular el valor del coseno del ángulo.
Se puede utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el coseno del ángulo:
Actividad 1: Dada una circunferencia unitaria con un ángulo cuyo coseno es igual a , calcular el valor del seno del ángulo
En la siguiente hoja dinámica se puede ver un círculo unitario con un punto P que se puede mover a lo largo del círculo. El segmento entre el centro de la circunferencia define el ángulo θ y un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a 1, cuyos catetos son el seno y el coseno del ángulo.
Actividad 2: Utilizar la hoja dinámica para calcular
Actividad 3: Utilizar la hoja dinámica para calcular el ángulo para el cual el coseno es igual a 0.5