E 02 Az Elliptikus sík félgömb-modellje
- Szerző:
- Szilassi Lajos
Az imént vázolt elliptikus síkot most egy olyan gömb egyik félgömbjén fogjuk modellezni, amely az origóban érinti a térbeli koordinátarendszer (xy) síkját, a sugara továbbra is r=5 , a félgömb határköre párhuzamos az (xy) síkkal. (A térbeli koordinátarendszer ki-be kapcsolását xyz jelre kattintva tehetjük meg. )
Az elliptikus sík gömbi modelljéből úgy kapjuk a félgömb modellt, hogy a gömbünk felső, nem látható részére eső alakzatainkat vagy az alakzatainknak (pl. E-egyenesnek, E-körnek) az ide eső részeit a gömb középpontjára tükrözzük , így a "látható" félgömbre kerülnek. Így ha egy pont pl. folytonos mozgása során kijut a félgömb határvonalára, akkor egyszeriben "átugrik" a határvonal átellenes pontjára, és onnan már a látható (alsó) félgömbre eső átellenes pontja folytatja ugyanazt a mozgást.
A félgömb modell
Kövessük lépésenként, miként épül fel a fenti applet:
- A G-modell alapgömbjét eltoltuk a térbeli koordinátarendszer z tengelye mentén úgy, hogy érintse az xy síkot.
- Felvettük azt a félgömböt, amelynek a határvonala párhuzamos az (xy) síkkal. Ez lesz az E-sík félgömb-modelljének az alapalakzata.
- Vegyük fel az alapalakzat A és B pontját. Ezeket mozgatva figyeljük meg, hogy amint kiérnek az alapalakzat (látszólagos) határvonalára, valóban "átugranak" az átellenes pontjuk helyére. Ennek a gyakorlati kivitelezése bizonyára érdekli a dinamikus koordináták alkalmazóit.
- Adjuk meg az A, B pontokra illeszkedő E-egyenest. Ebben a modellben ez olyan félkörív lesz, amelynek a végpontjai a határvonal átellenes - most matematikai szempontból vele azonos - pontjai. (Ezt az absztrakciót szem előtt tartva, meggyőződhetünk arról, hogy az E-egyenes valóban zárt vonal.)
- Az előbbi E-egyenes helyett most vegyünk fel egy A középpontú B pontra illeszkedő E-kört. A szerkesztés jelölőnégyzetet bekapcsolva látszik, hogy ennek a körnek egy része esetleg a felső - virtuális - félgömbre esik. Ekkor e kör antipotens (O-ra tükrözött) példányának egy része a látható félgömbünkre esik, ezért ilyenkor - látszólag - két részből áll a - folytonosnak tekinthető és tekintendő - E-körvonal.
- Talán leszögezhetjük, hogy ez a félgömb-modell kicsit áttekinthetőbb, mint a gömb-modell, de jobb lenne a síkot valóban síkbeli alakzatként kezelni, úgy mint itt. Ideje bevallani, hogy az összes eddigi fáradozásunknak ez volt a célja. Van egy jó módszer arra, hogy a félgömböt (általában a gömb kisebb-nagyobb részét) körtartó és szögtartó módon egy pontból történő vetítéssel egy síkra vetítsük. Ez az un. sztereografikus vetítés. Lényege, hogy a gömbfelület valamely C pontjából, a gömb minden C-től különböző pontját rávetítjük egy olyan síkra, amely merőleges (CO) egyenesre, ahol O a gömb középpontja. A mi esetünkben ez a sík a térbeli koordinátarendszer (xy) síkja, amely érinti a gömböt, így a vetítés centruma a C=(0,0,10) pont. Miután rajzoltunk valamit a félgömbünkre, majd levetítettük az (xy) síkra, az oda vetített alakzatok megjelennek a síkbeli rajzlapunkon is. Ennek a koordinátatengelyei az xy jelre kattintva kapcsolhatók ki-be. Belátható, hogy ha pl. az A pontot és az A -nak a félgömb határsíkjára vonatkozó TA tükörképét C-ből levetítjük az (xy) síkra, a vetületeik A' ill TA' akkor ezek egymás inverzei (tükörképei) lesznek a határkör vetületére nézve.
- Itt megszemlélhetjük a 4. lépésben már látott E-egyenes síkbeli vetületét is, amely a síkbeli modell alapkörét átellenes pontokban metsző körív. Az animációt bekapcsolva látjuk, miként "fut körbe" egy mozgó pont az E-sík E-egyenesén. Felvettük az E-egyenes pólusát is. A Szerkesztés jelölőnégyzetet bekapcsolva vizsgáljuk meg, hogy milyen kapcsolat van az AB E-egyenes P polárisa, ennek az (xy) síkra vetített P' képe valamint az E- egyenes z tengelyhez legközelebbi T pontja, és ennek a T' vetülete között. A TP gömbi főkörívéhez (E-szakaszához) tartozó TOP∢=90° középponti szöghöz a gömb TCP∢=T'CP'∢=45° -os kerületi szöge tartozik. Hamarosan látni fogjuk, hogy a továbbiakban ennek milyen fontos szerepe lesz.
- Végül megfigyelhetjük, hogy az eredetileg gömbön, majd a félgömbön felvett E-kör hogyan "viselkedhet" az elliptikus sík körmodelljén. Ha az E-körnek két külön része látható, az csak azt jeleni, hogy az E-kör metszi az alap félgömb ill. a síkbeli modell alapkörét, amelynek a pontjairól "tudjuk", hogy egyetlen E-kör pontjai, bár hol itt, hol ott látszanak. Matematikai szempontból ugyanolyanok, mint az E-sík többi pontja. Az elliptikus sík mindenütt homogén. Ha ez a két "rész" egybeesik, az azt jelenti, hogy az E-kör egyenessé fajult, amelynek pólusa az A pont.