Función cuadrática - Lección 03-12
Función cuadrática
Función cuadrática es una función polinómica de grado 2. Su expresión matemática se puede escribir como f(x) = a x2 + b x + c, con a 0. Su gráfica es una curva llamada parábola con su eje de simetría paralelo al eje Y.
Características de la función cuadrática
- Gráfica: parábola con eje de simetría paralelo al eje Y
- Intercepto con eje Y: punto (0, c)
- Eje de simetría (ES): recta . Si b = 0 la función es par porque es simétrica al eje Y:
- Concavidad:
a) Si a > 0 es convexa (ramas hacia arriba) y tiene un extremo que es un mínimo,
b) Si a < 0 es cóncava (ramas hacia abajo) y tiene un extremo que es un máximo,
- Punto extremo: El extremo de la función cuadrática recibe el nombre de vértice de la parábola. Su abcisa es el valor del eje de simetría mientras que su ordenada es la imagen del eje de simetría.
- Dominio: conjunto de los números reales, Df = R
- Rango:
a) Si a > 0: intervalo [). Reales mayores o iguales que la ordenada del vértice.
b) Si a < 0: intervalo (]. Reales menores o iguales que la ordenada del vértice.
- Crecimiento y decrecimiento:
a) Si a > 0: decrece desde hasta el vértice y crece desde el vértice hasta .
b) Si a < 0: crece desde hasta el vértice y decrece desde el vértice hasta .
- Raíces o ceros:
a) Dos raíces reales diferentes si > 0.
b) Dos raíces reales idénticas si = 0. En este caso, R1 = R2 y la parábola es tangente al eje X.
c) Dos raíces complejas diferentes si < 0. La parábola no cruza al eje X.
La expresión recibe el nombre de discriminante.
Para obtener las raíces se resuelve la ecuación que resulta de igualar el polinomio a cero: . Normalmente se hace por la fórmula general de la ecuación cuadrática o por factorización.
La fórmula general de la ecuación cuadrática es . De ahí se obtiene que las raíces son y
Obsérvese que en la fórmula general están incluidas las expresiones del eje de simetría y del discriminante.
Actividades:
1. Applet para analizar características de la función cuadrática.
Utilice los deslizadores o las casillas de entrada a, b y c para definir la función cuadrática.
En este applet se analiza:
- Concavidad: Si es cóncava o convexa. Además se muestra la tangente a la curva en un punto cualquiera.
Analice la ubicación de la curva con relación a la recta tangente.
- Eje de simetría
- Punto extremo: Analice cuando corresponde a un mínimo o a un máximo.
- Dominio: En toda función cuadrática el dominio son los reales. En otras palabras, en los reales toda abcisa x tiene su imagen y es única.
- Rango: Analice el conjunto de los reales que son imagen de algún valor de x.
- Intercepto con eje Y: Obsérvese que la ordenada y del intercepto con el eje Y corresponde al coeficiente c de la función cuadrática.
2. Applet para calcular y analizar las raíces o ceros de la función y el discriminante.
En este applet se utiliza la Vista Cálculo simbólico CAS de geogebra. Este software permite el manejo algebraico de expresiones.
Se puede observar Eje de simetría, Punto extremo, Discriminante y raíces.
En todos los casos se muestra la fórmula y el resultado.
NOTA: Las expresiones (fórmulas y textos) de la Vista CAS se pueden editar pero en este applet no se debe hacer. Si se hace alguna modificación se debe reiniciar el applet utilizando el ícono mostrado en la parte superior derecha del applet.
3. Applet para explorar tabla de valores utilizando la Vista Hoja de cálculo de geogebra.
La Vista Hoja de cálculo de geogebra permite el manejo de datos dispuestos en filas y columnas.
En este applet se muestra una tabla de valores de 10 puntos de la función definida con los coeficientes a, b y c. Cada punto es de la forma (x, f(x)). Así por ejemplo el punto C es (-2,6): x = -2, f(-2) = 6
Los valores de x se pueden editar y automáticamente el softawre calcula y muestra el valor de la función f(x) para esa x. Así se puede obtener el valor de la función para cualquier valor de x. Ejemplo: f(10) = ?
NOTA: No se deben modificar los datos de las filas A y C. En caso de hacerlo se debe reiniciar el applet utilizando el ícono mostrado en la parte superior derecha.
Observe lo que sucede cuando se cambia un dato de la columna C y se muestra la gráfica y los puntos de la tabla de valores.
4. Applet para analizar la función cuadrática como una cónica (parábola con eje de simetría vertical).
En este applet se muestra la ecuación y la gráfica de la parábola que corresponde a la gráfica de la función cuadrática.
Para obtener información complementaria sobre la parábola, analice la lección geogebra Parábola - Lección 04-01, https://www.geogebra.org/m/pcnxcezq
Para obtener información general sobre funciones analice el libro geogebra Funciones con geogebra, https://www.geogebra.org/m/ybhvuukp
Otras actividades: Resuelva las siguientes preguntas.
5. Sea la función g(x) = -4x2 + 5x -8. El punto de intersección de la función con el eje Y es
6. La función h está definida como h(x) = 2x2 + x - 6. Las raíces de la función h son
7. Se tiene la función j(x) = 3x2 - 5x + 1. Calcule el discriminante de la función y determine la naturaleza de las raíces.
8. El punto extremo de la función k(x) = -4x2 - 5 es
9. Cómo es la concavidad de la función m(x) = -8x2 + 5x - 6. Justifique su respuesta.
10. Sea la función n(x) = (3x + 2)(2x - 1). Calcule las raíces de la función.