Ejemplo 11. La estrategia de Pulgarcito
- Autor:
- Rafael Losada Liste
El potente zoom de GeoGebra es una magnífica herramienta para dejar marcas en puntos precisos que formen un rastro, al estilo Pulgarcito, del trayecto. Este modo de proceder es de gran utilidad para determinar lugares geométricos desconocidos a priori.
En la siguiente construcción se mide, por disección del círculo amarillo de radio variable, el porcentaje de área de intersección de este círculo con el triángulo acutángulo ABC. Movemos el círculo y observamos cómo varía ese porcentaje. Cada vez que encontramos, para distintos valores del radio, el valor máximo del porcentaje dejamos una marca (puntos blancos). Observamos que la trayectoria nos conduce del incentro I hacia el circuncentro O.Podemos imaginar la figura como un intento de optimizar la iluminación de una región triangular con un foco de luz de alcance limitado y perpendicular a ella, como una linterna o una farola. En cada marca, el área iluminada es máxima.
La precisión alcanzada nos permite asegurar que tales puntos no están ni en la misma recta ni en la misma circunferencia, sino en una hipérbola equilátera que pasa por el incentro, el circuncentro y los tres excentros y por el punto simediano, llamada hipérbola de Stammler. De esta forma tan sencilla hemos determinado un lugar geométrico que sin esta ayuda sería difícil descubrir.