Matriz TL y cambio de base
Te acordás de la transformación que mapea cada punto del espacio en su proyección normal sobre un plano dado?
El plano debe contener el origen, de lo contrario el origen no se mapearía en sí mismo.
Acá, por un lado
se procedió a encontrar mediante las facilidades de Geogebra, el punto A, que es la proyección solicitada (intersección de la recta normal al plano que contiene el punto genérico P, con el plano)
y por el otro
se procedió a verificar que el camino de la elección de un nuevo sistema de referencias podría resultar en un cálculo más sencillo para la matriz asociada.
1) se buscó una base ortonormal
Todo punto del plano es un vector en este caso, por tanto, u=(1,0,1) fue el primer vector de la base B.
u.v=0 es la condición de perpendicularidad, por tanto v=(x,y,x+y) vale v=(1,-2,-1)
y aprovechando el producto vectorial, w = u x v sería el último vector de la base.
(luego dividiremos por los módulos y acomodando para que el determinantes sea 1, de manera que el cambio de base solo sea una rotación pura: no queremos ejes cualesquiera, sino dextrógiros como XYZ).
Es importante que la base se haya tomado así, porque de esa manera
2) se puede escribir T11((a1,b1,c1))=(a1,b1,0) como la transformación lineal descripta en la base B
(y es muy sencillo encontrar la matriz asociada).
3) para encontrar (a1,b1,c1) ---el punto referido al nuevo sistema de referencias---
hubo que hacer un cambio de base
[P]_1 = [inv(B)] [P] , [P']_1 = [inv(B)] [P'] ,
con lo que, faltaría expresar P_1 como coordenadas respecto del sistema de referencias inicial...
4) [P']_1 = [T_1]_1 [P]_1,
Calculando todo de una...
5) [P'] = [B] [T_1]1_ [inv(B)] [P]
y, es claro que [T] = [B] [T_1]_1 [inv(B)]
Y claramente ves que A coincide con P', uno lo calculó geogebra y el otro lo calculamos nosotros.
T es [T_1]_1, B1 es [inv(B)] en el boceto.