Forma Quadrática das Cônicas.

Considere a equação geral fornecida pela expressão , queremos verificar os seguintes tópicos:

1. Qual é a curva representada pela equação? 2. É possível trocar "equação difícil em eixos fáceis" por "equações fáceis em eixos difíceis"? ou seja, há um novo par de eixos que põe esta expressão numa forma canônica mais simples? Tais questionamentos serão investigados e respondidos no decorrer dessa atividade.

A matriz A vai ajudar a determinar a rotação de eixos que transforma uma equação do 2º grau, numa equação padrão que permite identificar qual é a curva. Autovalor: Um número real é um autovalor da matriz M, se existir um vetor não nulo tal que . Seja um autovalor da matriz M. Um vetor , é um autovetor de M relativo ao autovalor se . Para determinar seus autovalores, devemos resolver a equação a equação , onde é o traço de M, ou seja, é o produto da diagonal principal, e é o determinante.

Para determinar seus autovetores, devemos resolver o sistema oriundo da equação matricial. Note que a matriz é dada por M={{a,b}, {c,d}}, seus autovalores já foram determinados, I é a matriz identidade de ordem 2, u é o vetor e 0 é a matriz nula. Se diferente de zero, então o sistema é impossível e determinado, com uma única solução (x=0 e y=0). Como desejamos vetores não nulos, logo detM=0. Lembre´-se que um autovetor nunca pode ser nulo. Sugestão: Não se assuste se o sistema linear para encontrar o autovetor for indeterminado, ele tem que ser indeterminado, senão a única solução seria x=y=0, o que não queremos.

Como vimos no início dessa atividade, a forma quadrática geral é dada por , porém os termos Dx, Ey e F, não geram grandes dificuldades, pois podemos completar os quadrados, daí teremos uma translação dos eixos. No Caso, o nosso objeto de estudo será a rotação dos eixos. Forma quadrática é uma função do tipo f(x,y)=Ax²+Bxy+Cy², na qual sua matriz é a matriz simétrica M={{A,B/2},{B/2,C}}. Teorema: Esta matriz sempre tem um para de autovetores ortonormais u₁=(cos x, sen x) e u₂=(-sen x, cos x) relativos a autovalores reais e . O teorema a seguir simplifica a forma quadrática f(x,y). Por um preço: Novas coordenadas. Seja f(x,y)=Ax²+Bxy+Cy². Considere um novo sistema X' e Y' cujos eixos OX' e OY' estão na direção de e (Autovetores de f). Tal que: . Sendo assim, a rotação de eixos OXY de um ângulo , cria um novo sistema OX'Y', note que o objetivo é eliminar o termo em xy, para facilitar a análise da cônica em estudo. Logo, vamos analisar as construções a seguir para entender o comportamento do termo em xy.